Методические указания и контрольные задания для студентов заочной формы обучения на базе основного общего образования ( 9 классов ) (стр. 5 из 7)

2.Область значения показательной функции есть множество всех положительных действительных чисел.

3.При любых действительных значениях Х и У справедливы равенства :

· а^ха^у = а^х+у

·

=а^х-у

· (ав )^х =а^х в^х

· (

=

· (а^х)^у= а^ху

Решение простейших показательных , логарифмических уравнений и неравенств.

При решении простейших показательных уравнений используется определение показательной функции и ее основные свойства.

Решим уравнение :

1. 7^х-2 =

Приведем основание показательной функции правой части уравнения к числу 7, в результате преобразований получаем 7

, данное уравнение после преобразований имеет вид 7^х-2 = 7 , на основании свойства показательной функции имеем , что х-2 = , следовательно х = 2 .

2. 5^х

-2х-1 =25

Перепишем его в виде 5^х

-2х-1 = 5² на основании свойства показательной функции имеем , что х² -2х-1 = 2. Приходим к квадратному уравнению , решаем его и получаем два действительных корня х =3 и х= -1 , следовательно корнями показательного уравнения являются числа 3 и -1.

При решении простейших логарифмических уравнений используются определения логарифма числа , понятие логарифмической функции , ее области определения и основные свойства логарифмической функции .

Решим уравнение :

1. Log ₂ (x²+4x+3 ) =3

По определению логарифма числа имеем х²+4х+3 = 2³ , получаем , что х²+4х+3 = 8 , или х²+4х +3 -8 = 0 , приводим подобные , получаем квадратное уравнение , решаем его и получаем два два действительных корня х =1 , х = -5 , следовательно корни логарифмического уравнения числа 1 и -5 .

2. Log (2x+3)=Log(x+1)

По свойству логарифмической функции имеем , что 2х+3=х+1 , решаем линейное уравнение и получаем , что х = -2 , которое не обращает данное уравнение в верное равенство.

При решении показательных неравенств используется понятие показательной функции . свойство монотонности показательной функции, свойства линейных неравенств и алгоритм их решения.

Решим неравенство :

1. 0,5^7-3х

, представим основание показательной функции в правой части неравенства в виде числа 0,5^-2 , перепишем неравенство с новым основанием

0,5 ^7-3х

, исходя из того , что основание показательной функции число равное 0,5 следовательно показательная функция убывающая и это значит , что 7-3х

решаем неравенство первой степени и получаем , что -3х -9 и х .Значит множество ( - ; 3 ) есть решением данного неравенства.

2. Решим неравенство :

6

² при данном основании а =6 показательная функция возрастает ,а это значит, что х²+2х 2 или х² +2х -2 решая неравенство 2 степени , вычисляя нули функции получаем х =- 3 и х = 1, а это значит множество чисел ( - ; -3 ) и ( 1; ) есть решение данного неравенства.

При решении логарифмических неравенств всегда используются свойство монотонности функции , свойства линейных неравенств и алгоритм их решения.

3. Решим неравенство :

1.log

_(5-2x)

2 число -2 представим в виде логарифма числа -2 = log _1/39 .Поэтому данное неравенство можно записать в виде log _1/3( 5-2x )

log _1/3 9 .Логарифмическая функция с основанием 1/3 определена и убывает на множестве R₊ .Следовательно составляя систему из двух неравенств получаем : 5-2х и 5-2х , решаем данную систему и получаем , что х принадлежит множеству ( -2 ; 2,5 ).

РАЗДЕЛ 6 . Аксиомы и их простейшие следствия.

СТЕРЕОМЕТРИЯ – это раздел геометрии , в котором изучаются фигуры в пространстве. В стереометрии , так же как и в планиметрии , свойства геометрических фигур устанавливаются путем доказательства соответствующих теорем, При этом отправными являются свойства основных геометрических фигур, выражаемые аксиомами. Основными фигурами в стереометрии являются точка , прямая и плоскость.

Группа аксиом состоит из трех аксиом.

С₁ Какова бы ни была плоскость , существуют точки принадлежащие этой плоскости, и точки , не принадлежащие ей.

С₂ Если две различные плоскости имеют общую точку , то они пересекаются по прямой , проходящей через эту точку.

С₃ Если две различные прямые имеют общую точку , то через них можно провести плоскость , и притом только одну.

Существует группа теорем , которые являются следствиями из аксиом стереометрии.

ТЕОРЕМА15.3 Через прямую и не лежащую на ней точку можно провести плоскость , и при том только одну.

ТЕОРЕМА 15.2 Если две точки прямой принадлежат плоскости , то вся прямая принадлежит этой плоскости .

ТЕОРЕМА 15.3 Через три точки, не лежащие на одной прямой , можно провести плоскость , и притом только одну .

При изучении данного раздела вы должны знать аксиомы стереометрии и уметь доказывать теоремы ( следствия из аксиом стереометрии).

РАЗДЕЛ 7 . ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬ ПРЯМЫХ И ПЛОСКОСТЕЙ.

В пространстве существует несколько видов расположения прямых : пересекающие , параллельные , скрещивающиеся.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ : две прямые в пространстве называются параллельными , если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ : прямые , которые не пересекаются и не лежат в одной плоскости , называются скрещивающимися.

Теорема 16.1 доказывает свойства параллельности прямых :

Через точку вне данной прямой можно провести прямую , параллельную этой прямой , и притом одну.

Так же существует признак параллельности прямых .

ТЕОРЕМА 16.2 Две прямые , параллельные третьей прямой , параллельны.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ : прямая и плоскость называются параллельными , если они не пересекаются.

А теорема 16.3 является признаком параллельности прямой и плоскости.

Если прямая, не принадлежащая плоскости , параллельна какой–нибудь прямой в этой плоскости, то она параллельна и самой плоскости.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ : две плоскости называются параллельными , если они не пересекаются.

ТЕОРЕМА 16.4 Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым другой плоскости , то эти плоскости параллельны.

На ряду с этим вы должны уметь доказывать теоремы о существовании плоскости , параллельной данной плоскости.

ТЕОРЕМА 16.5 Через точку вне данной плоскости можно провести плоскость , параллельную данной , и притом только одну.

Нужно так же отметить о существовании свойств параллельных плоскостей это следующие утверждения :

Если две параллельные плоскости пересекаются третьей , то прямые пересечения параллельны.

Отрезки параллельных прямых , заключенные между двумя параллельными плоскостями ,равны.

Параллельные отрезки фигуры изображаются на плоскости чертежа параллельными отрезками.

ЛИТЕРАТУРА

Основная

1. Атанасян Л.С. Геометрия (10-11) – М., Просвещение, 1994.

2. Афанасьева О.Н., Бродкий Я.С., Гуткин И.И., Павлов АЛ. Cборник задач по математике для

техникумов. – М.: Наука, 1987.

3. Валуцэ И.И. Математика для техникумов. – М.: Наука, 1990.

4. Колмогоров А. Н. Абрамов А. М. и др. Алгебра и начала анализа (10 – 11) – М., Просвещение, 1995

5. Математика для техникумов. Алгебра и начало анализа./ под ред. Яковлева Г.Н. Ч.1. – М., Наука, 1987.

6. Математика для техникумов. Алгебра и начало анализа./ под ред. Яковлева Г.Н. Ч.2. – М., Наука, 1988.

7. Математика для техникумов. Геометрия./ под ред. Яковлева Г.Н. – М., Наука, 1989.

8. Погорелов А.В. Геометрия (7 – 11) – М. Просвещение, 1997.

9. Подольский В.А. и др. Сборник задач по математике: Учебное пособие для средних специальных учебных заведений /Подольский В.А., Суходольский А.М. и др.– 2-е изд. перераб. и доп. – М.: Высшая школа, 1999.

Дополнительная