Методические указания и контрольные задания для студентов заочной формы обучения на базе основного общего образования ( 9 классов ) (стр. 4 из 7)

Из определений синуса ,косинуса, тангенса, котангенса следуют основные формулы тригонометрии :

Sin ²x + Cos² x = 1 tg x * ctg x =1

tg ² x +1 =

ctg² x + 1 =

tg x =

ctg x =

Основой для вывода остальных формул являются формулы сложения :

Cos (a –b) =cos a*cos b + sin a *sin b

Cos (a+ b) =cos a * cos b – sin a * sin b

Sin ( a+ b ) = sin a * cos b +cos a * sin b

Sin ( a –b ) = sin a * cos b – cos a * sin b

tg ( a + b ) =

tg ( a – b) =

Из формул сложения путем вывода получаем формулы приведения, формулы суммы и разности синусов и косинусов, формулы двойного аргумента, формулы половинного аргумента.

Для запоминания формул приведения удобно пользоваться мнемоническим правилом :

· перед приведенной функцией ставится тот знак , который имеет исходная функция, если 0

а ;

· если функция меняется на «кофункцию» ,если п нечетно ; функция не меняется, если п четно.( Кофункциями синуса, косинуса, тангенса, котангенса называются соответственно косинус , синус, котангенс , тангенс.)

Ответьте на контрольные вопросы:

1.Запишите формулы приведения , формулы суммы и разности синусов и косинусов, формулы двойного аргумента, формулы половинного аргумента.

2.Запишите знаки тригонометрических функций по четвертям.

3.Выразите в радианную меру величины углов :

· 45⁰ ; 36 ⁰; 180⁰ ; 150⁰ ; 310⁰ ; 360 ⁰; 72⁰ ; 270 ⁰

РАЗДЕЛ 3 .ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ

Мы считаем , что все углы измерены в радианной мере , и поэтому обозначение рад., как правило , опускается. Договорившись считать единицу измерения углов ( 1 радиан ) фиксированной , определяем , тригонометрические функции тригонометрического аргумента.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ : Числовые функции , заданные формулами у = sin x и у = cos x называются соответственно синусом и косинусом ( и обозначаются sin . cos )

ОПРЕДЕЛЕНИЕ : Числовые функции, заданные формулами у = tg x и у = ctg x , называются соответственно тангенсом и котангенсом ( и обозначаются tg x и ctg x)

На основании теоремы (о корне) и свойств монотонности тригонометрических функций определены понятия обратных тригонометрических функций.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ : Арксинусом числа а называется такое число из отрезка

, синус которого равен а.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ : Арккосинусом числа а называется такое число из отрезка

, косинус которого равен числу а.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ : Арктангенсом числа а называется такое число из промежутка

тангенс которого равен числу а.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ :Арккотангенсом числа а называется такое число их отрезка

котангенс которого равен числу а.

ПРИМЕР : вычислите значения обратных тригонометрических функций

· arcsin 1 =

, так как sin =1

· arcos

, так как cos =

· arcos(-0.5)+arcsin ( -0.5) =

- = =

· 2arcsin( -

= 2(-

· arcsin(-1)-

+3arccos(-

Выполните упражнение самостоятельно :

1.Вычислите :

· arctg(-

· 3arcsin

· arctg(-

· arccos

РАЗДЕЛ 4 ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ

Решение простейших тригонометрических уравнений.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ : Уравнения вида cos x =a sin x =a tg x = a ctg x = a называются простейшими тригонометрическими , при условии а

уравнения sin x = a . cos x = a имеют корень, два других уравнения имеют корень при любом а.

Для решения тригонометрических уравнений существуют формулы корней.

№	Вид уравнения	Формулы корней простейших тригонометрических уравнений
1	sin x = a	X=(-1)narcsin a + n , n R
2	cos x = a	X = -+arсcos a +2 n , n R
3	tg x = a	X = arctg a + n , n R
4	ctg x = a	X = arcctg a + n , n R

1.Решить тригонометрические уравнения : ( образец )

а) cos x = -

x = ^-+ arcos (-

.n R

x = ^-+

^b) cos

n R

2.Решите уравнения : ( самостоятельно )

· cos x=

· 2 cos x + = 0

·

· Sin 2x =

· 2 cos (

· 2sin² x+ sin x -1 = 0

· 2 cos ² x + sin x + 1 =0

При решении тригонометрических уравнений нужно знать определение обратных тригонометрических функций , знать формулы корней простейших тригонометрических уравнений ,уметь пользоваться таблицей элементарных значений тригонометрических функций.

РАЗДЕЛ 5 ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ,ЛОГАРИФМИТИЧЕСКАЯ И СТЕПЕННАЯ ФУНКЦИИ

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: функция , заданная формулой У= а^х ( где а > 0, а≠1) ,называется показательной функцией с основанием а.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ :Логарифмом числа в по основанию а называется показатель , в которую нужно возвести основание а , чтобы получить число в.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ :Функция ,заданную формулой У = Log_xa , называется логарифмической функцией с основанием а.

Сформулируем основные свойства показательной функции ( их доказательство выходит за рамки общеобразовательной подготовки )

1.Область определения показательной функции есть множество всех действительных чисел.