Методические указания по изучению дисциплины и выполнению контрольной работы (стр. 11 из 14)
Функция y выведена в предположении, что существует только два ресурса: x1 - труд, x2 - капитал, где
указывает на соответствующую долю использования каждого из этих ресурсов; c - некоторый постоянный коэффициент; y - это количество совокупного продукта, которое при определенных технологических условиях может быть получено из данных продуктов. Функция y простейшая производственная функция, так как рассматривает зависимость между двумя ресурсами и одним продуктом.Математическая модель задачи. Пусть x1 - количество ресурсов вида 1, x2 - количество ресурсов вида 2. Система ограничений:
(4.6)Целевая функция:
(4.7)Требуется найти наибольшее значение функции (4.7) на множестве решений системы (4.6).
4.2.Некоторые особенности решения задач нелинейного программирования
Для решения ЗНП существенно знать: 1) выпукло или не выпукло множество допустимых решений задачи; 2) является ли целевая функция выпуклой или вогнутой или она не относится ни к тому, ни к другому классу.
Говорят, что множество выпукло, если оно вместе с любыми своими точками А и В содержит и все точки отрезка АВ. Примерами выпуклых множеств в пространстве могут служить сфера, пирамида, призма и т.д. В невыпуклом множестве можно указать хотя бы две точки, такие, что не все точки отрезка АВ принадлежат рассматриваемому множеству. Примером невыпуклого множества в пространстве является тор.
Функцию y = f(x) одной переменной будем называть выпуклой, если отрезок, соединяющий две любые точки ее графика, принадлежит графику или расположен выше его. Функция вогнута, если отрезок, соединяющий две любые точки графика, принадлежит ему или расположен ниже его.
Аналогично можно сформулировать определения понятий вогнутой и выпуклой функций нескольких переменных. Говорят, что гиперповерхность z=f(x1,x2,...,xn) выпуклая, если отрезок, соединяющий две ее любые точки, лежит на поверхности или выше ее. Гиперповерхность z=f(x1,x2,...,xn) вогнута, если отрезок, соединяющий две ее любые точки, лежит на поверхности или ниже ее.
Пусть дана функция 
, определенная на замкнутом множестве Ф. Элементами множества Ф являются точки
. Поэтому функцию 
можно записать так: 
.Говорят, что функция
, определенная на некотором множестве X, достигает в точке 
локального максимума (локального минимума), если найдется такое число 
, что для всех 
, удовлетворяющих неравенству 
, выполняется неравенство 
Точка
, в которой функция достигает локального максимума (минимума), называется точкой локального максимума (минимума).Пусть функция
определена на замкнутом множестве X. Если 
и 
для любой точки 
, то говорят, что в точке 
функция достигает глобального максимума (глобального минимума).Точка
, в которой все частные производные функции 
равны 0, называется стационарной точкой.Необходимое условие экстремума. Если в точке
функция 
имеет экстремум, то частные производные функции в этой точке равны нулю:
Как и в случае одной переменной, необходимое условие не является достаточным для того, чтобы стационарная точка была точкой экстремума. Для получения достаточных условий следует определить в стационарной точке знак дифференциала второго порядка. Дифференциал второго порядка обозначается
и равен сумме произведений частных производных второго порядка на соответствующие приращения аргументов. Если от частной производной 
найти частную производную по переменной 
, то получим частную производную второго порядка по переменным 
, которая обозначается 
. В этом случае
Достаточные условия экстремума:
а) в стационарной точке
функция имеет максимум, если 
, и минимум, если 
, при любых 
и 
, не обращающихся в нуль одновременно;б) если
может принимать в зависимости от 
и 
и положительные, и отрицательные значения, то в точке экстремума нет;в) если
может обращаться в нуль не только при нулевых приращениях 
и 
, то вопрос об экстремуме остается открытым.Для функции двух переменных
достаточные условия не очень сложны. Существуют четыре частные производные второго порядка:
Найдем значения частных производных второго порядка в стационарной точке
:
Обозначим через
определитель, составленный из 
(6.8)Тогда достаточные условия экстремума функции двух переменных имеют вид:
а) если
>0 и a11<0 (a22<0), то в точке 
функция имеет максимум; если 
>0 и a11>0 (a22>0), то в точке 
функция имеет минимум;б) если
<0, то экстремума нет;в) если
, то вопрос об экстремуме остается открытым. Если область Ф замкнута и ограничена, то дифференцируемая функция 
достигает в этой области своих наибольшего и наименьшего значений или в стационарной точке, или в граничной точке области.
Таким образом, чтобы найти наибольшее (наименьшее) значение функции в области Ф, нужно:
1) найти все стационарные точки внутри области Ф и вычислить значения функции в них:
2) исследовать функцию на экстремум на границе области Ф;