Методические указания к выполнению контрольной работы №1 для студентов (стр. 2 из 4)
Для стержня, имеющего несколько силовых участков, абсолютное изменение длины стержня определяется как алгебраическая сумма деформаций отдельных силовых участков:
, (1.10)где
- абсолютные деформации соответствующих силовых участков стержня, определяемые по формуле (1.5) и (1.9).Перемещение поперечных сечений стержня вдоль его оси обозначается буквой U и является следствием деформации силовых участков стержня.
Перемещение произвольного сечения стержня равно абсолютному удлинению той части стержня, которая заключена между этим сечением и заделкой. Если известно перемещение
сечения в начале участка, длиной l, то перемещение 
сечения в конце участка в котором действует нормальная сила 
и, кроме того, по длине участка приложена равномерно распределенная нагрузка, может быть вычислено по формуле
; (1.11)Знаки у слагаемых определяются соответствием выбранного положительного направления
и направлением действия сил.Отсюда следует, что перемещение поперечных сечений стержня может происходить и на участках, не подверженных деформации, а как результат влияния деформации соседних силовых участков. Это основное отличительное свойство перемещения от деформации.
Определяют перемещения по формуле (1.11) и начинают от неподвижного конца, т.е. от заделки.
Пример 1. Стальной стержень (Е = 2×105 МПа), один конец которого жестко защемлен, другой – свободен, находится под действием продольных сил Р и распределенной нагрузки t = 20 кН/м. Продольные силы и нагрузка вызваны взаимодействием стержня с остальными частями механизма, не показанными на схеме. Отдельные участки стержня имеют различную площадь поперечного сечения, F или 2F (рис.2,а).
Требуется:
1) сделать схематический чертеж бруса по заданным размерам, соблюдая масштаб длин по вертикали;
2) вычислить значения продольной силы N и нормального напряжения s, построить их эпюры;
3) найти перемещение точки В.
Решение
I. Определение количества участков
Нормальная сила Nz зависит от величин внешних сил, поэтому границами участков будут сечения, в которых приложены эти силы, а также сечения совпадающие с началом (концом) действия распределенной нагрузки.
Таким образом, рассматриваемый брус имеет три самостоятельных участка, начиная со свободного конца:
I участок от А (точка приложения силы Р) до В (начало действия распределенной нагрузки)
II участок от В до С (конец действия распределенной нагрузки)
III участок от С до D (точка закрепления бруса).
II. Определение значений продольной силы N
и нормального напряжения s
Для этой цели воспользуемся методом сечений.
I участок (А – В) 0 м Ј z1 Ј 0,15 м
Проведем сечение 1–1 на расстоянии z1 от начала координат (точка А), отбросим нижнюю часть (рис.2). Рассмотрим равновесие верхней отсеченной части. На нее действует только внешняя сила P и продольная сила
, показанная в положительном направлении, которая учитывает воздействие нижней отброшенной части (рис. 2,б).Составим уравнение равновесия и выразим продольную силу, действующую на первом участке:
; 
– Р = 0; = Р = 29 кН.Для нормального напряжения (при F1 = F = const):
Полученные величины продольной силы
и нормального напряжения 
не меняются по всей длине первого участка.II участок (B – C) 0,15 м Ј z2 Ј0, 34 м
Аналогично предыдущему проведем сечение 2–2 на расстоянии z2 от свободного конца бруса, в пределах II-го участка (рис. 2,в). Для верхней части составим уравнение равновесия
.В это уравнение войдут: сосредоточенная сила Р= 29 кН, равнодействующая продольной распределенной нагрузки
по длине отсеченной части второго участка 
, а также сила , показанная в положительном направлении.При этом уравнение равновесия примет вид:
отсюда
кН.Учитывая постоянство площади поперечного сечения на втором участке, выражение для нормального напряжения может быть записано таким образом:
Анализируя полученные выражения, видим, что величины продольной силы
и 
имеют линейную зависимость от ординаты z2. Поэтому для построения эпюр достаточно определить их значения в начале и конце участка:при z2 = 0,15: N(0,15) = 32 – 2 × 0,15 = 29 кН;
s(0,15) =
МПа;при z2 = 0,34: N(0,34) = 32 – 20 × 0,34 = 25,2 кН;
s(0,34) =
.Проводим сечение 3–3 на расстоянии z3 от свободного конца бруса, в пределах III-го участка (рис. 2,г).
III участок (C – D) 0,34 м Ј z3 Ј 0,53 м
Уравнение равновесия принимает вид:
: 
Выразив
, получаем: 
Выражение для нормального напряжения может быть записано таким образом:
Подставив числовые значения в приведенную формулу, получаем:
.По полученным значениям строим эпюры Nz и sz (рис. 2,д,е). Необходимым условием правильности построения этих графиков является выполнение следующих требований:
– растягивающие усилия Nz и нормальные напряжения sz со знаком “+” откладываем влево от базисной линии 0–0, отрицательные вправо;
– если нагрузка равномерно распределена по длине участка, то эпюра ограничена наклонной линией;
– скачок в эпюре N должен находиться в точке приложения сосредоточенного усилия и быть равным по величине значению этой силы;
– скачки в эпюре s должны совпадать с точками приложения внешней силы Р и изменения площади поперечного сечения бруса.
III. Вычисление перемещения точки В
Для определения перемещения точки В стержня необходимо помнить, что смещение сечения зависит от деформации не всего бруса, а лишь некоторой его части между сечением и заделкой. Так в нашем случае перемещение точки В равно суммарному изменению длины участков ВС и CD:
.При вычислении абсолютных деформаций участков моно применить принцип независимости действия сил и формулы (1.5) и (1.9).
На участок CD как внешние силы действуют: 2Р – растягивающая и Т2 – сжимающая.
На участок СВ как внешняя сила действует Р = 29 кН и равномерно распределенная нагрузка t = 20 кН/м.
Таким образом,
Точка В перемещается вверх.
Вопросы для самопроверки
1. Что такое центральное растяжение и сжатие?
2. Что понимается под продольной силой в брусе, и каким способом она определяется?
3. Какое правило знаков принято при определении продольной силы? Какова размерность продольной силы?
4. Что такое эпюра продольной силы? Как она строится и с какой целью?