Методические указания и задания к расчетно-графической работе по разделу курса высшей математики «аналитическая геометрия» (стр. 1 из 10)

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ УКРАИНЫ

ДОНЕЦКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ

ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

и задания к расчетно-графической работе

по разделу курса высшей математики

«АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ»

(для студентов специальностей 7.080403

«Программное обеспечение автоматизированных систем»

и 7.050102 «Экономическая кибернетика»)

Утверждено

На заседании каф.ПМ и И

22 марта 2000 г.

-ДонГТУ-

Донецк - 2000

УДК 517

Методические указания и задания к расчетно-графической работе по разделу курса высшей математики «Аналитическая геометрия» (для студентов специальностей 7.080403 “Программное обеспечение автоматизированных систем” и 7.050102 “Экономическая кибернетика” ) / Составители: Скворцов А.Е., Губарев А.А

– Донецк : ДГТУ , 2000.- с.30

Приведены решения типовых задач по всем темам раздела «Аналитическая геометрия».Даны рекомендации общего и конкретного характера . Приведены расчетные задания : 12 задач по 25 вариантов .

Составители А.Е. Скворцов , доц .

А.А. Губарев , асс.

Отв.за выпуск Е.А. Башков , проф.

Рецензент

Часть1.РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

Задача 1. Какому условию должны удовлетворять векторы

и , чтобы имело место соотношение ?

Решение. Возведем обе части данного равенства в квадрат и воспользуемся известным фактом : скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины . Будем иметь:

.

Но для скалярного произведения справедливы формулы сокращенного умножения , поэтому после упрощения получим

.

По определению

φ , где φ- угол между векторами . Сравнивая это определение с последней формулой , делаем вывод : cos φ = -1 т.е. φ = π , значит векторы противоположно направлены . Кроме того , , значит не короче .

Ответ :

↑↓ и ≥ .

Задача 2. Найти вектор , направленный по биссектрисе угла , образованного векторами

и .

Решение. Сумма векторов – это одна из диагоналей параллелограмма , построенного на векторах . Но в общем случае диагональ параллелограмма не является биссектрисой его углов . Чтобы это было так , параллелограмм должен быть ромбом , т.е. векторы-слагаемые должны иметь равные длины . Перейдем к ортам векторов

и , для чего разделим эти векторы на их длины :

, .

Направления ортов совпадают с направлениями самих векторов (т.к. векторы делятся на положительные числа ) , а длины одинаковы . Значит сумма ортов , как диагональ ромба , направлена по биссектрисе угла , образованного ими , т.е. по биссектрисе угла , образованного векторами

и .

Ответ : искомый вектор имеет вид

+ .

Задача 3. Векторы

и - взаимно перпендикулярные орты . Выяснить при каких значениях параметра t векторы и : 1)перпендикулярны; 2) коллинеарны .

Решение. Будем использовать известные условия

, .

Напомним , что при скалярном и векторном умножении векторных “многочленов” скобки раскрываем обычным образом , учитывая следующее : скалярный квадрат вектора – это квадрат его длины , “векторный” квадрат – это всегда нуль-вектор, скалярное умножение коммутативно , а векторное антикоммутативно

.

Итак , имеем :

, , ибо ;

.

Из полученных соотношений делаем выводы :

1) векторы

и перпендикулярны , если t –2=0 , т.е. t=2 ;

2) векторы коллинеарны , если 2 t+1=0 ,т.е. t=-1/2

, ибо и неколлинеарны .

Замечание. На второй вопрос задачи можно ответить и другим образом . Коллинеарность векторов

и означает = λ , где λ - некоторое число , т.е. или . Но векторы и - неколлинеарны, значит образуют базис , поэтому разложение любого вектора ( в частности ,вектора ) по и единственно , другими словами , коэффициенты двух равных линейных комбинаций и равны : 1= λ t и 2=- λ . Отсюда t=-1/2.

Ответ :

при t=2 ; при t=-0,5 .

Задача 4. Найти вектор

, удовлетворяющий условиям : 1) и ; 2) ; 3) образует с осью Оу тупой угол .

Решение . Из первого условия следует , что искомый вектор коллинеарен векторному произведению

, ибо по определению - это вектор , перпендикулярный каждому из векторов-сомножителей . Вычисляем по известной формуле

,

где

, :

.