Методические указания и задания к расчетно-графической работе по разделу курса высшей математики «аналитическая геометрия» (стр. 4 из 10)

В нашей задач имеем

После упрощения получим требуемые уравнения высоты треугольника

Замечание. Эту задачу можно решить и другим способом , заметив , что высота BD является линией пересечения двух плоскостей , а именно : плоскости α , проходящей через точку В перпендикулярно АС и плоскости β , проходящей через вершины треугольника . Уравнение плоскости β можно легко найти , используя общий прием. Если M(x,y,z)– текущая точка β , то векторы

лежат в β.

Записав условие компланарности этих векторов

, получим уравнение β . Объединив уравнения плоскостей α и β в систему , получим общие уравнения высоты BD (переход от общих уравнений к каноническим разобран в следующей задаче ) .

Задача 9. Найти канонические уравнения проекции q прямой

на плоскость α :

Решение . Найдем уравнение проектирующей плоскости β , т.е. плоскости , содержащей в себе прямую р , и перпендикулярной плоскости α .Направляющий вектор прямой

и нормальный вектор плоскости α

параллельны плоскости β . Точка

и , если

- текущая точка β , то вектор

лежит в плоскости β . Векторы

- компланарны . Запишем условие этого

После упрощения получаем β :

. Объединив это уравнение проектирующей плоскости с уравнением плоскости проекции α , получим общие уравнения искомой проекции q прямой р :

(1)

Последний шаг в решении задачи – переход от общих уравнений (1) к каноническим, для чего надо найти направляющий вектор прямой q и точку , ей принадлежащую (или две точки) . Нормальные векторы плоскостей α и β , будучи перпендикулярными своим плоскостям , перпендикулярны и линии их пересечения q . А значит их векторное произведение параллельно q ,(по определению

т.е. может служить направляющим вектором этой прямой:

Чтобы найти точку , принадлежащую q , найдем какое-нибудь решение системы (1). Так как неизвестных больше уравнений , то одно из неизвестных , например z, можно выбрать произвольно . Пусть z = 0 . Тогда система (1) имеет вид

Решив ее , находим : x = 1 , y = 2 . Итак , теперь можно составить канонические уравнения проекции q прямой р на плоскость α как прямой , проходящей через

в направлении

Задача 10. Поворотом системы координат исключить из уравнения

член , содержащий произведение переменных .

Решение . Решим задачу в общем виде . Уравнение линии второго порядка имеет вид

(2)

При повороте системы координат на угол α старые координаты точки (x,y) связаны с новыми

известными формулами

После подстановки этих формул в уравнение (2) и элементарных преобразований получим уравнение линии в новой системе координат :

Здесь :

Если мы хотим , чтобы пропал член , содержащий произведение переменных , то угол α необходимо выбрать таким , чтобы

, т.е.

Итак, ответ в общем виде такой : угол поворота α должен удовлетворять уравнению

В нашей задаче имеем : А=5 , В=8, С=5 . Значит

,т.е.

. Одно из решений этого уравнения

. Вычисляем новые коэффициенты по приведенным выше формулам :

Итак , повернув систему координат на

, мы получим уравнение

Замечание. Старшие коэффициенты полученного уравнения (не содержащего произведения переменных ! ) позволяют частично определить вид линии : т.к. эти коэффициенты имеют одинаковый знак , то данное уравнение определяет эллипс , или одну точку , или , вообще , ничего не определяют ( в последних двух случаях говорят, что уравнение определяет вырожденный или мнимый эллипс ) .

Ответ: в новой системе координат линия имеет уравнение

Задача 11. Уравнение линии

привести к нормальному виду .

Решение . Группируем одноименные переменные и выделяем в каждой группе полный квадрат :

Разделив обе части последнего уравнения на правую часть , мы и получим нормальное уравнение линии :

(3) .

Это уравнение определяет гиперболу , оси которой параллельны осям координат (это вытекает и из общего уравнения – в нем отсутствует член , содержащий

) . Центр гиперболы расположен в точке

, действительная полуось а=2 , мнимая b=3, половина расстояния между фокусами

.Вершины :

.Фокусы :

Гипербола (3) получается из канонической гиперболы

путем параллельного переноса центра в точку

. Асимптоты канонической гиперболы имеют уравнения

, т.е.

Для нашей гиперболы уравнения асимптот таковы

Ответ: нормальное уравнение

Задача 12. Провести касательную q к линии : 1)

, параллельную прямой

, перпендикулярную прямой

через точку М(-5;-4), принадлежащую линии; 4)

через точку N(5;-7) .