Методические указания и задания к расчетно-графической работе по разделу курса высшей математики «аналитическая геометрия» (стр. 2 из 10)

Итак ,

, т.е. , где .

Далее , используя второе условие , находим

, , т.е. .

Чтобы определить знак множителя λ , обратимся к третьему условию , которое означает , что проекция искомого вектора на ось Оу отрицательна . А так как проекция вектора

на ось Оу положительна , то λ<0 .Окончательно , λ =-2 и искомый вектор имеет вид .

Замечание. Условия задачи можно использовать и другим способом . Например : так как

, то , т.е. 3x+2y+2z=0 ; а равенство означает (здесь x,y,z- проекции искомого вектора). При этом пришлось бы решать нелинейную систему из трех уравнений с тремя неизвестными.

Ответ:

.

Задача 5. Даны вершины треугольника : А(-1;-2) , В(4;7) , С(-4;2) . Требуется: 1) составить уравнение и найти длину биссектрисы AD угла треугольника при вершине А ; 2) составить уравнение и найти длину высоты AH , опущенной из вершины А на противоположную сторону ; 3) найти площадь треугольника S .

Решение . Уравнение биссектрисы будем искать в канонической форме , а именно :

, где - точка , принадлежащая прямой р, - направляющий вектор прямой р . В качестве точки возьмем вершину А , а в качестве направляющего вектора – вектор , направленный по биссектрисе угла, образованного векторами и ( смотри задачу 2) . Найдем сначала эти векторы и их длины , используя известные формулы : если , то ; если , то . Для нашей задачи имеем :

Вектор

направлен по биссектрисе угла , образованного векторами и . Находим его :

.

Но векторы вида

и - коллинеарны , т.е. являются направляющими векторами одной и той же прямой . Поэтому в качестве направляющего вектора биссектрисы AD можно взять вектор . Итак , уравнение биссектрисы имеет вид :

, или после упрощения

AD : 7x – y + 5 =0 .

Длину биссектрисы найдем как расстояние от вершины А до точки пересечения D биссектрисы с противоположной стороной . Составим сначала уравнение стороны ВС, как уравнение прямой , проходящей через две точки

:

.

Берем

и . Получаем :

или после упрощения

ВС : 2x – 11y + 30 = 0 .

Координаты точки D - это решение системы линейных уравнений

или

Решив ее , например , методом Крамера ,

, ,

получим D (-1/3 ; 8/3 ) . Тогда искомая длина биссектрисы равна

AD = d(A,D) =

.

Замечание. Эту часть задачи можно решать в ином порядке . Сначала можно найти координаты точки D , используя известный из элементарной геометрии факт : точка D делит сторону ВС в отношении λ = BD/DC = AB/AC . В нашей задаче λ=10/5 = 2 . Теперь координаты точки , делящей отрезок в заданном отношении , находим по формулам

,

.

Теперь уравнение биссектрисы находим как уравнение прямой , проходящей через две точки .

2)Длину высоты АН , опущенной из вершины А , находим как расстояние от точки А до прямой ВС . Общая формула :

, где .

Имеем в нашей задаче :

АН=

.

Уравнение высоты ищем в общем виде :

, где - нормальный вектор прямой р . В нашем случае , а :

АН : -11 (x + 1)-2 (y + 2) = 0 или после упрощения

AH : 11 x + 2 y + 15 = 0 .

Замечание. Из уравнения прямой ВС (полученного ранее) легко найти нормальный вектор этой прямой :

. Для высоты АН этот вектор является направляющим и уравнение АН можно находить в канонической форме :

.

3)Для вычисления площади треугольника используем геометрический смысл

: длина векторного произведения двух векторов есть площадь параллелограмма , построенного на этих векторах . А площадь треугольника – это половина площади параллелограмма . Векторы и мы уже знаем . Находим их векторное произведение :

.

Итак ,

(ед.кв.) .

Замечание. Этот способ вычисления площади треугольника является наиболее рациональным в случае , когда известны координаты его вершин .

Задача 6. Определить параметры , входящие в уравнения прямых и плоскостей, используя данные об их взаимном расположении : 1) прямые

и

пересекаются под прямым углом ; 2) для точки

, плоскости и прямой известно , что и .

Решение . 1)Общий вид канонических и параметрических уравнений прямой :

и

В этих уравнениях :

- точка , принадлежащая прямой , - направляющий вектор прямой (т.е. вектор , лежащий на прямой , или параллельный ей ) . Из условий задачи сразу получаем :