Методические указания для студентов факультета математики и информационных технологий и факультета управления Ульяновск-2007 (стр. 6 из 7)

Пример 33. Вычислить предел функции

Решение. Воспользуемся тем, что если

, то В нашем случае , Тогда

Задачи, связанные с применением второго замечательного предела

Второй замечательный предел

(11)

применяется ( как и в случае последовательностей) при вычислении пределов

, где т.е. в случае неопределённости вида

Следующие три примера решим различными способами.

Пример 34. Вычислить предел функции

Решение. Находим пределы основания и показателя степени исходного выражения и убеждаемся в том, что перед нами неопределённость вида

Выделяем в исходном выражении формулу и вычисляем предел.

Предел выражения можно находить, предварительно вычислив предел его логарифма.

Пример 35. Вычислить предел функции

Решение. Преобразуем логарифм исходного выражения, применив формулу

Отсюда Теперь находим искомый предел:

Для вычисления предела

, где т.е. в случае неопределённости вида , можно использовать правило:

. (12)

Пример 36. Вычислить предел функции

Решение. Находим

Далее,

и в силу (12) получаем

Пример 37. Последовательность функций

определяется следующим образом:

Найти

Решение. Легко заметить и доказать по индукции, что

Оценим разность между

и числом

являющимся корнем уравнения

. Последнее неравенство следует из того, что

и

Применяя полученное неравенство

к разности

и т.д., получим

то есть

. Отсюда видно, что

Непрерывность функции

Определение. Функция

, заданная на множестве Е

R, называется непрерывной в точке а

Е, если

(13)

Отсюда следует, что в изолированной точке множества Е функция непрерывна (см. пример 41); если же а - предельная для множества Е, то (13) означает, что

Пример 38. Доказать, что функция

непрерывна в точке а=2(найти ).

Решение. 1-й способ. Поскольку

определена при всех значениях

R, то Е= R и (13) принимает вид:

Переходим к неравенству для значений функции:

(14)

Пусть выполнено неравенство

то есть

Тогда

Если теперь потребовать, чтобы выполнялось неравенство

, то неравенство (14) также будет выполнено:

Итак, для выполнения последнего неравенства потребовалось, чтобы

и

. Поэтому

2-й способ. Неравенство

для значений функции выполнено, если выполнено неравенство

Последнее неравенство, (квадратное относительно

) выполнено, если

Таким образом,

Рис.1

3-й способ. Найдём

по

графически (см. рис. 1) и получим такой же результат, как для второго способа (в этом легко убедиться самостоятельно).

Пример 39. С помощью «

» рассуждений доказать непрерывность следующих функций: 1) :2) .

Решение. 1). Пусть

Тогда если . Кроме того, должно выполняться условие ,откуда и При а=0 если ( в качестве окрестности нуля в множестве Е=D(f) берётся ).