Методические указания для студентов факультета математики и информационных технологий и факультета управления Ульяновск-2007 (стр. 5 из 7)
Попредложению 3 выражение в числителе эквивалентно
, следовательно, 
2-й способ. Сделаем замену переменной и воспользуемся формулой 9 из таблицы эквивалентных бесконечно малых.
Пример 23. Вычислить предел функции
Решение. Воспользовавшись формулами приведения и табличными эквивалентностями, получаем
Пример24. Вычислить предел функции
.Решение. Заметив, что все сомножители в числителе и знаменателе исходного выражения есть бесконечно малые при
, заменим их, кроме 
, на эквивалентные:
Получаем
.Пример 25. Вычислить предел функции
.Решение. 1-й способ. Преобразуем исходное выражение и разделим числитель и знаменатель на х:
. Тогда по арифметическим свойствам предела 
. По таблице заменяем выражения на эквивалентные и переходим к пределу в каждом слагаемом: 
2-й способ. Поскольку
, то 
. Точно так же 
и 
при 
. Воспользовавшись этими соотношениями, получаем 
.Пример 26. Вычислить предел функции
.Решение. Вынесем в знаменателе исходного выражения множитель
и учтём, что 
: 
. Теперь сделаем замену переменной, воспользуемся формулой приведения и табличными эквивалентностями:
..
Пример 27. Вычислить предел функции
Решение. 1-й способ. Преобразуем числитель исходного выражения:
Используя последнее равенство, приём умножения на сопряжённое выражение, предел
и табличные эквивалентности, получаем:
+ 
+ 
= 
+ 
+ 
= 
+ 1 + 
2-й способ. Последовательно используя табличные формулы
при 
, получаем
Пример 28. Вычислить предел функции
Решение. Сделаем подстановку 
и воспользуемся табличными формулами:
Пример 29. Вычислить предел функции
Решение. Сделаем подстановку :
(10)Преобразуем выражение
Подставляем полученное выражение в (10):
Пример 30. Вычислить предел функции
Решение.
Мы воспользовались свойствами логарифма и тем, что
есть бесконечно большая, а 
и 
-бесконечно малые при 
Пример 31. Найти предел
Решение. Понизим степень в исходном выражении и вынесем n из-под корня:
Теперь используем табличное представление 
, где 
при 
, формулу приведения и то, что 
(непрерывность косинуса): 
Пример 32. Вычислить предел функции
Решение. Величина
является ограниченной, а x - бесконечно малой при 
. Поэтому их произведение есть бесконечно малая. Далее, 
поэтому 
; 
. Отсюда 