Методические указания для студентов факультета математики и информационных технологий и факультета управления Ульяновск-2007 (стр. 4 из 7)
Определение. Функция
есть бесконечно малая при 
, если 
Функции
и 
называются эквивалентными (f ~ g) при , если в некоторой проколотой окрестности точки а выполнено соотношение 
, где 
.Определение. Функция
есть бесконечно малая относительно 
при , если в некоторой проколотой окрестности точки а выполнено соотношение 
, где 
При этом пишут 
Если при этом g- бесконечно малая, то говорят, что f есть бесконечно малая более высокого порядка по сравнению с g.Справедливы следующие предложения.
1. (f(х) ~ g(х)) при
.2. (f(х) ~ g(х)) при
Последнее правило не распространяется на суммы и разности функций, кроме отдельных случаев, например
3. Если f(х) ~ах и g(х) ~bх и
, то (f(х) - g(х)) ~(а- b)х.При вычислении пределов функций полезно использовать таблицу эквивалентных бесконечно малых величин при
:1. sinx~x ,
,2. arcsinx~x, arcsinx =x+o(x),
3. tgx~x , tgx=x+o(x),
4. arctgx ~x, arctgx=x+o(x),
5.
~x , 
,6.
~xlna, 
,7.
~x , 
,8.
~ 
, 
,9.
~ 
, 
,10. 1-cosx~
, 
.Пример 17. Доказать (найти d(e)), что
.Решение. Заметив, что квадратный трёхчлен
имеет корни 
и 
, упростим исходное выражение: 
.Тогда соответствующая часть формулы (9) из определения предела функции принимает вид 
e. Это неравенство будет выполняться, если
. Следовательно, можно взять 
.Пример 18. Найти предел
.Решение. При
многочлены в числителе и знаменателе исходного выражения обращаются в нуль, следовательно, их пределы в точке 
равны нулю и мы имеем неопределённость вида 
. Преобразуем исходное выражение. Разложим многочлены в его числителе и знаменателе на множители, воспользовавшись тем, что является их корнем, с помощью группировки слагаемых или разделив их на х-2: 
, 
.Получаем
Мы снова имеем неопределённость, так как при х=2 числитель и знаменатель последней дроби обращаются в нуль. Разлагаем их на множители, сокращаем и находим искомый предел: 
.Пример 19. Найти предел
.Решение. Имеем неопределённость вида
. Преобразуем исходное выражение, умножив его числитель и знаменатель на множитель 
, сопряжённый к числителю. 
Поскольку
, то 
. Пример 20. Найти предел
.Решение. Подставив х=1 в выражения в числителе и знаменателе, убеждаемся в том, что имеется неопределённость вида
. Воспользуемся формулами (3), (4). Умножим числитель и знаменатель исходного выражения на множитель 
, дополняющий числитель до разности кубов (неполный квадрат суммы), и на множитель 
, сопряжённый к знаменателю. Получаем 
Поскольку 
, 
, то
. Пример 20. Найти предел
.Решение. Дважды применим приём умножения на сопряжённое выражение.
, поскольку 
при 
.Далее,
.Пример 21. Найти предел a
.Решение. Применим формулу (5)
, положив в ней 
, 
. Умножив числитель и знаменатель исходной дроби на выражение 
и учитывая, что оно стремится к 5, получаем: 
Пример 22. Найти предел
.Решение. 1-й способ. Сделаем замену переменной:
