Методические указания для студентов факультета математики и информационных технологий и факультета управления Ульяновск-2007 (стр. 2 из 7)

(4)

(5)

(первая и вторая из них получаются из третьей при

и соответственно).

Так, например, если выражение содержит множитель

, где и и их старшие степени и коэффициенты при них совпадают или эта разность стремится к нулю, полезно умножить числитель и знаменатель исходной дроби на , т.е. на выражение, сопряжённое к .

Пример 5. Найти предел

Решение. Имеем неопределённость

.Умножим числитель и знаменатель дроби на выражение, сопряжённое к числителю и воспользуемся формулой (3); далее разделим числитель и знаменатель на :

Теперь воспользуемся арифметическими свойствами предела и тем, что при

Замечание. Сразу после (6) можно было записать

, поскольку показатели степени слагаемых в знаменателе и равны 3, следовательно, старшая степень знаменателя есть и коэффициент при равен 2 (на языке асимптотического поведения функций выражение в знаменателе эквивалентно , то есть

, эквивалентно , а при вычислении пределов величины можно заменять на эквивалентные, см. с. ).

Пример 6. Найти предел

Решение. Имеем неопределённость

. Воспользуемся формулой (4).Умножим числитель и знаменатель дроби на выражение, дополняющее числитель до разности кубов, то есть на соответствующий неполный квадрат суммы; далее разделим числитель и знаменатель на и воспользуемся арифметическими свойствами предела:

. (7)

Замечание. Сразу после (7) можно было записать

(см. предыдущее замечание).

Пример 7. Найти предел

Решение. Поскольку

, то . Первый сомножитель в числителе является суммой геометрической прогрессии. Найдём эту сумму по формуле : . Так как , то . Окончательно получаем

Пример 8. Найти предел

Решение. Воспользуемся формулой суммы арифметической прогрессии

: . Кроме того, , откуда . Подставляем полученные выражения в исходное:

.

Разделим теперь числитель и знаменатель последовательно на

и :

поскольку

Пример 9. Найти предел

Решение. Обозначим

Если - чётное, , то Если - нечётное, , то

Таким образом, при любом

Поскольку то .

Задачи, связанные с применением теоремы Вейерштрасса о пределе монотонной последовательности.

Пример 10. Доказать, что

Решение. 1-й способ. Обозначим

Заметим, что при Поэтому последовательность убывает при и, поскольку она ограничена снизу нулём, то имеет предел. Обозначим и перейдём к пределу в равенстве

2-й способ. Используя формулу (2), получаем

Отсюда Поскольку , из последнего неравенства следует, что

3-й способ. Найдём

, при которых выполняется неравенство Следовательно, при