Лекционный комплекс и Методические рекомендации по изучению дисциплины а основные понятия и термины по Курсу (стр. 3 из 8)

Разберем понятие вырожденности подробнее. Пусть на

одинаковых частиц приходится состояний.

Если

частицы с одинаковым состоянием практически не встречаются и газ является невырожденным (подчиняясь законам классической физики).

Если

газ является вырожденным

уравнение изоэнергетической поверхности для которой

имеет вид:

где

видно, что изоэнергетическая поверхность является эллипсоидом

Если при энергия максимальна (имеет локальный минимум) , эффективная масса минимальна

задания для самоконтроля:

11. Введение и понятие вырожденности

12. Квазиимпульс электрона и закон дисперсии

13. Два способа описания зон Бриллюэна

14. Эффективная масса электрона.

15. Изоэнергетические поверхности

16. Электроны на поверхности Ферми

17. Поверхности Ферми

18. Понятие вырожденности и функция Максвелла-Больцмана.

19. Нахождение уровня Ферми в невырожденных полупроводниках (чистых)

20. Введение примесей

Литература: [1-12], ДЛ [1-12]

Занятие 6

Тема лекции: Модель сильно связанных электронов

Цель лекции: Разобраться с моделью сильно связанных электронов

Вопросы к лекции:

1 Изменение атомных орбиталей при сближении атомов

Тезисы лекционного занятия:

Начиная расчет закона дисперсии Е(p) электронов в кристалле с модели свободных электронов с законом дисперсии

, мы постепенно включали его взаимодействие с решеткой. На первом этапе кристалл рассматривался как потенциальная яма с постоянным потенциалом . Затем с помощью эффективного периодического потенциала U_eff вводилось взаимодействие электрона как с ионами периодической решетки, так и взаимодействие со всеми другими электронами.

Такой электрон как бы "одетый" во взаимодействие со всеми другими частицами периодической кристаллической структуры представляет собой квазичастицу. Квазичастицу можно рассматривать как частицу в самосогласованном поле всех окружающих частиц.

Поэтому закон дисперсии электронов-квазичастиц сильно отличается от соответствующего закона для свободного электрона и не может быть аналитически записан во всем интервале значений энергий.

Импульс электронов-квазичастиц

называется квазиимпульсом. Квазиимпульс принимает дискретный ряд значений. Например, для кубической решетки с шагом \Delta квазиимпульс может изменяться в интервале - .

Широко употребляемый способ изображения волновых функций - полярные диаграммы (r=const.), на которых изображается угловая часть волновой функции. Внутри каждой области полярных диаграмм ставится знак волновой функции.

На рисунке 26 для примера приведены полярные диаграммы

s-орбитали (а) -

(3.3);

p-орбиталей: (б) -

(3.4); (в) - (3.5); (г) - (3.6);

d-орбиталей:

(д) -

;

(е) -

а б
в	г
Рисунок	26

Основные изменения состояний электронов, возникающие при сближении атомов и образовании кристаллической структуры, можно проиллюстрировать на простой модели связывания атома водорода и протона в двухатомную систему - молекулярный ион Н₂⁺.

При приближении протона к атому водорода потенциальная энергия системы изменяется на величину

(3.7)

связанную с электростатическим притяжением электрона атома водорода к приближающемуся протону и отталкиванием между протонами. Расстояния r и R (3.7) изображены на рисунке 27, где справа от плоскости Н, перпендикулярной отрезку Р₁Р₂, находится атом водорода Р₁, а слева - протон Р₂.

Рисунок 27

Знак

зависит от расстояния r электрона до протона. При , то есть когда электрон находится в заштрихованной на рисунке области, называемой областью связывания, потенциальная энергия системы (3.7) уменьшается . Если электрон находится в области r>R (область разрыхления), то потенциальная энергия растет.

Волновые функции (атомные орбитали)

и электронных состояний вблизи отдельных протонов P₁ и P₂, соответственно, при сближении начинают перекрываться. Количественной характеристикой степени перекрытия волновых функций является интеграл перекрытия

задания для самоконтроля:

1) Вид атомных орбиталей

2) Изменение атомных орбиталей при сближении атомов.

3) Интеграл перекрытия

4) Формирование зонной структуры энергетического спектра

5) Волновая функция электрона в кристалле

Литература: [1-5], ДЛ [1-6]

Занятие 7

Тема лекции: Закон дисперсии электрона в кристалле

Цель лекции: Установить закон дисперсии

Вопросы к лекции:

1 Металлическое состояние

2 Ковалентные направленные связи

Тезисы лекционного занятия:

Итак, при образовании связи между двумя атомами из двух атомных орбиталей образуются две молекулярных: связывающая и разрыхляющая с разными энергиями.

Посмотрим теперь, что происходит при образовании кристалла. Здесь возможны два различных варианта: когда при сближении атомов возникает металлическое состояние и когда возникает полупроводниковое или диэлектрическое состояние.

Металлическое состояние может возникнуть только в результате перекрытия атомных орбиталей и образования многоцентровых орбиталей, приводящих к полной или частичной коллективизации валентных электронов. Таким образом, металл, если исходить из концепции первоначально связанных атомных электронных орбиталей, можно представить как систему положительно заряженных ионов, объединенных в одну гигантскую молекулу с единой системой многоцентровых молекулярных орбиталей.

У переходных и редкоземельных металлов кроме возникающей при коллективизации электронов металлической связи, могут существовать так же и ковалентные направленные связи между соседними атомами с полностью заполненными связывающими орбиталями.

Коллективизация электронов, обеспечивающая связь всех атомов в решетке, приводит при сближении атомов к 2N- кратному (с учетом спина) расщеплению атомных энергетических уровней и образованию зонной структуры электронного энергетического спектра.

Энергия электрона

в кристалле может быть представлена в виде

где E_a - энергия электрона в изолированном атоме, (-С)<0 - изменение этой энергии за счет того, что электрон находится в суммарном поле U(r) всех атомов решетки. Третий член, так называемый обменный интеграл J, связан с перекрытием волновых функций

(3.11) электронов, а также с энергией возмущения W(r), равной разности потенциальной энергии электрона в кристалле U(r) и в изолированном атоме U_a (r). Находясь в элементарном объеме , электрон приобретает дополнительную потенциальную энергию W(r) благодаря перекрытию волновых функций с вероятностью , пропорциональной этому перекрытию. Тогда обменный интеграл