Методические указания к курсовой работе по дисциплине «численные методы» (стр. 2 из 2)
Если значения функции z=f(x,y) известны в вершинах прямоу-гольника a£ х£ b, c£ y£ d : z1= f(a,c), z2= f(b,c), z3= f(b,d), z4= f(a,d), то в любой точке (x,y) этого прямоугольника значения функции z=f(x,y) могут быть найдены по следующей формуле (hx = b - a, hy = d - c):
7
Для получения координат точек изотерм можно применить фор-мулы линейной интерполяции. Пусть в двух соседних узлах сетки
(x1,y1) и (x2,y2) известны значения температуры Т1 и Т2. Если необходимо найти координаты точки c заданной температурой T0
min(Т1,Т2)£T0£ max(Т1,Т2),
то можно воспользоваться формулами
, 
.Для рассматриваемой области (рис. 2) координаты изотермы T0=2 будут равны: (0;2), (0,5;1), (1;0,5), (2;0).
Для решения поставленной задачи можно применить метод конечных элементов (МКЭ), который впервые был применен для численного решения дифференциальных уравнений в частных производных в середине 50-х годов ХХ столетия и с тех пор завоевал широкую популярность. Основная идея МКЭ состоит в том, что область расчета делится на конечное число элементов произвольной геометрической формы, и для каждого элемента рассматриваются так называемые базисные функции ai , принимающие значения, равные 1 в i - м узле элемента и нулевые во всех других узлах.
Тогда значение искомой функции внутри элемента выражается через узловые неизвестные в виде
.Наиболее распространенными конечными элементами для двумерных задач являются треугольные элементы (рис.1) с линейными базисными функциями (S - площадь треугольника):
, 
, 
.Положительное значение площади S обеспечивается нумерацией вершин треугольника против часовой стрелки.
8
Рис. 3. Треугольный и прямоугольный конечные элементы
Пусть область расчета D c границей Г покрыта треугольными элементами. Вершины, расположенные внутри области, определяют узловые неизвестные. Для их определения составляют систему линейных уравнений:
, (3)где u j - значения искомой функции в узле j, а коэффициенты
определяются следующим интегралом:
. (4)Внутреннее суммирование в системе уравнений (3) ведется по всем внутренним узлам, принадлежащим k-му элементу, а внешнее - по всем элементам, содержащим узел j. В рассматриваемой системе уравнений число узловых неизвестных равно числу уравнений. Для треугольных элементов
,
,
.Невозможно дать общие рекомендации по триангуляции произвольной области. Существуют различные способы повышения точности при использовании МКЭ. Один из них - использование нелинейных конечных элементов и элементов специального вида для более точной аппроксимации границы области расчета и искомой функции.
Для прямоугольного конечного элемента (рис.3) могут быть построены нелинейные базисные функции
9
.Коэффициенты системы МКЭ для прямоугольного элемента можно получить из интеграла (4).
МКЭ является одним из наиболее эффективных численных методов решения краевых задач, но, как и любой метод, он имеет свои недостатки. Так, точность полученных результатов зависит от триангуляции области. Количество выбранных треугольников, их вид и расположение могут влиять на точность получаемых решений. Особенно это относится к решению краевых задач в областях с угловыми точками.
3. ОФОРМЛЕНИЕ ПОЯСНИТЕЛЬНОЙ ЗАПИСКИ
Каждый студент получает индивидуальное задание, в котором указывается тема работы: “Решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа” и ее этапы выполнения:
- составление системы линейных уравнений, аппроксимирующих уравнение Лапласа в области многоугольника, заданного координатами вершин с известным распределением температуры вдоль его сторон;
- нахождение узловых неизвестных и вычисление максимальной относительной погрешности полученных результатов;
- построение семейства изотерм в расчетной области.
Задание утверждается заведующим кафедрой МИСТ и подписывается руководителем курсовой работы. На бланке указываются дата получения задания и срок выполнения работы.
Содержание курсовой работы излагается в пояснительной записке, где в лаконичной форме должна быть раскрыта суть выполняемой работы. В ней должны быть следующие разделы: введение, описание метода решения задачи, расчетная часть, анализ полученных результатов, список использованной литературы, листинг разработанной программы.
Оформление пояснительной записки выполняется с помощью любого текстового редактора. Объем работы 10-15 страниц машинописного текста.
10
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1.Самарский А.А., Андреев В.Б. Разностные методы для эллипти- ческих уравнений. -М.: Наука. Физматлит. 1976.
2. Воробьёва Г.Н., Данилова А.Н. Практикум по вычислительной
математике. -М.: Высшая школа. 1990.
3. С.Фарлоу. Уравнения с частными производными для научных работников и инженеров: Пер.с англ. - М.: Мир. 1985.
4. Плис А.И., Сливина Н.А. Лабораторный практикум по высшей математике. -М.: Высшая школа. 1983.
5. Копчёнова Н.В., Марон И.А. Вычислительная математика в примерах и задачах. -М.: Наука. 1972.
6. Шуп Т. Решение инженерных задач на ЭВМ. -М.: Мир.1982.
7. Самарский А.А. Теория разностных схем. -М.: Наука. 1983.
8. Форсайт Дж., Малькольм М., Моулер К. Машинные методы математических вычислений / Пер. с англ. -М.:Мир. 1980.
9. Амосов А.А., Дубинский Ю.А., Копченова Н.В. Вычислительные методы для инженеров: Учебное пособие. -М.: Высш. шк. 1994.
11
Учебно-практическое издание
Методические указания и задания к лабораторным работам
по дисциплине «Численные методы»
Составитель Бондаренко Александр Иванович
 |
Редактор И.И. Кузнецова
Темплан 2008г. Подписано в печать 14.01.2008 г.
Формат 60х841/16. Бумага офсетная. Ризография.
Усл.-печ.л. 0,7. Уч.-изд. л. 0,75. Тираж 50 .
 |
Южно-Российский государственный технический университет
Адрес ун-та: 346428, г. Новочеркасск, ул. Просвещения, 132
Шахтинский институт (филиал) ЮРГТУ (НПИ)
Адрес ин-та: 346500, г. Шахты, пл. Ленина, 1