Тема математические модели дискретных систем управления мы редко до конца понимаем, чего действительно хотим (стр. 3 из 5)
y(kDt) = TL{x(kDt)}.
Это выражение отображает краткую запись линейного разностного уравнения:
am y(kDt-mDt) = 
bn x(kDt-nDt), (6.2.8)где am и bn - вещественные или, в общем случае, комплексные коэффициенты. Выполним нормировку уравнения (6.2.8) к a0 = 1, и, принимая в дальнейшем Dt = 1, приведем его к виду:
y(k) =
bn x(k-n) – 
am y(k-m). (6.2.9)  Рис. 6.2.2. Рекурсивный ЦФ. |
ЦВУ, которые описываются полным разностным уравнением (6.2.9), принято называть рекурсивными цифровыми фильтрами (РЦФ), так как в вычислении текущих выходных значений участвуют не только входные данные, но и значения выходных данных фильтрации, вычисленные в предшествующих циклах расчетов. С учетом последнего фактора рекурсивные фильтры называют также фильтрами с обратной связью, положительной или отрицательной в зависимости от знака суммы коэффициентов am. По существу, полное окно рекурсивного фильтра состоит из двух составляющих: нерекурсивной части bn, ограниченной в работе текущими и "прошлыми" значениями входного сигнала, и рекурсивной части am, которая работает только с "прошлыми" значениями выходного сигнала. Техника вычислений для РЦФ приведена на рис. 6.2.2.
Передаточные функции ЦВУ. Удобным методом решения разностных уравнений линейных систем является z-преобразование. Применяя z-преобразование к обеим частям равенства (6.2.8), c учетом сдвига функций (y(k-m) - z-m Y(z)), получаем:
Y(z)
amz-m = X(z) bnz-n, (6.2.10)где X(z),Y(z)- соответствующие z-образы входного и выходного сигнала. Отсюда, полагая ao = 1, получаем в общей форме функцию связи выхода фильтра с его входом - уравнение передаточной функции системы в z-области:
H(z) = Y(z)/X(z) =
bnz-n 
(1+ amz-m). (6.2.11)Для нерекурсивных ЦВУ, при нулевых коэффициентах am:
H(z) =
bnz-n. (6.2.12)При проектировании фильтров исходной, как правило, является частотная передаточная функция фильтра H(ω), по которой вычисляется ее Z-образ H(z) и обратным переходом в пространство сигналов определяется алгоритм обработки данных. В общей форме для выходных сигналов фильтра:
Y(z) = H(z)·X(z).
Y(z)·(1+
am z-m) = X(z) 
bn z-nY(z) = X(z)
bn z-n – Y(z) 
am z-m. (6.2.13)После обратного Z-преобразования выражения (6.2.13):
y(k) =
bn x(k-n) – 
am y(k-m). (6.2.14)При подаче на вход фильтра единичного импульса Кронекера dо, имеющего z-образ d(z)=z-n = 1, сигнал на выходе фильтра будет представлять собой импульсную реакцию фильтра y(k) ≡ h(k), при этом:
H(z) = Y(z)/d(z) = Y(z) = TZ[y(k)] =
h(k) z-k, (6.2.15)т.е. передаточная функция фильтра является z-образом ее импульсной реакции. При обратном z-преобразовании передаточной функции соответственно получаем импульсную характеристику фильтра:
h(k) - H(z). (6.2.16)
Если функция H(z) представлена конечным степенным полиномом, то обратное z-преобразование осуществляется элементарно идентификацией коэффициентов по степеням z. Передаточная функция также может быть представлена степенным полиномом прямым делением числителя на знаменатель правой части выражения (6.2.11), однако результат при этом может оказаться как конечным, так и бесконечным, т.е. система может иметь либо конечную, либо бесконечную импульсную характеристику. Практически используемые рекурсивные фильтры обычно имеют бесконечную импульсную характеристику (БИХ-фильтры) при конечном числе членов алгоритма фильтрации (6.2.14).
Система устойчива, если при любых начальных условиях ее реакция на любое ограниченное воздействие также ограничена. Критерием устойчивости является абсолютная сходимость отсчетов импульсного отклика системы:
|h(n)| < ¥. (6.2.17)Анализ устойчивости может быть проведен по передаточной функции. В устойчивой системе передаточная функция не должна иметь особых точек (полюсов) на и вне единичного круга на z-плоскости. Отсюда необходимое и достаточное условие устойчивости импульсных систем - модули корней передаточной функции (6.2.11) должны быть меньше 1 (полюса передаточной функции системы внутри единичного круга на z-плоскости). Чем меньше значения модулей корней, тем больше запас устойчивости системы.
Частотные характеристики ЦВУ. От z-образов сигналов и передаточных функций подстановкой z = exp(jwDt) можно перейти к Фурье-образам функций, т.е. к частотным спектрам сигналов и частотной характеристике цифровых систем, а точнее – к функциям их спектральных плотностей.
Передаточная частотная функция (частотная характеристика при ао=1):
H(w) = A(w)/B(w) =
bn exp(-jwnDt) 
[1+ am exp(-jwmDt)]. (6.2.18)Частотная характеристика системы представляет собой Фурье-образ его импульсной реакции, и наоборот. При Dt = 1:
H(w) =
h(n) exp(-jwn), (6.2.19)h(n) = (1/2p)
H(w) exp(jwn) dw. (6.2.20)В общем случае H(w) является комплексной функцией, модуль которой R(w) называется амплитудно-частотной характеристикой (АЧХ), а аргумент j(w) – фазово-частотной характеристикой (ФЧХ).
A(w) = |H(w)| =
j(w) = arctg(-Im H(w)/Re H(w)).
Выбор знака фазового угла ориентирован на каузальные системы с отрицательным временным запаздыванием сигналов. Допустим, что система осуществляет только сдвиг сигнала x(t) вправо по временной оси, т е. y(t) = x(t-t). Для преобразования Фурье функции y(t) имеем:
Y(f) =
y(t) exp(-j2pft) dt = x(t-t) exp(-j2pft) dt == exp(-j2pft)
x(t) exp(-j2pft) dt = exp(-j2pft) X(f).Отсюда:
H(f) = Y(f)/X(f) = exp(-j2pft), |H(f)| = 1, jh(f) = -2pft.
Из последнего равенства следует, что фаза представляет собой прямую с отрицательным тангенсом угла наклона -2pft. Соответственно, для всех каузальных фильтров, осуществляющих преобразование с определенной задержкой сигнала на выходе, при выполнении операции над частотными составляющими сигнала имеет место:
Y(f) = H(f) X(f) = |H(f)| exp(jjh(f)) |X(f)| exp(jjx(f)) = |H(f)| |X(f)| exp{j [jh(f)+jx(f)]},
|Y(f)| = |H(f)| |X(f)|, jy(f) = jh(f)+jx(f).
C учетом отрицательного знака jh(f) фазовой характеристики каузальных фильтров это вызывает сдвиг в "минус" всех частотных составляющих сигнала и соответствующую задержку выходного сигнала относительно входного.
6.3. МОДЕЛИ СОСТОЯНИЯ ЛИНЕЙНОЙ ДИСКРЕТНОЙ СИСТЕМЫ [1, 2]
Математические модели дискретных систем управления описывают поведение этих систем только в квантованные моменты времени: tk, k = 0, 1, 2, ... Дискретным представлением непрерывных сигналов u(t), y(t), х(t) являются последовательности:
{u(tk)}, {y(tk)}, {х(tk)}.
Математические модели дискретных систем устанавливают взаимосвязь между этими последовательностями.
Практически все объекты и процессы управления имеют непрерывный характер своего состояния и динамики развития во времени. Поэтому дискретные автоматические системы управления содержат в своей структуре как цифровую (дискретную), так и аналоговую (непрерывную) части. Для согласования этих частей в системе используются аналогово-цифровые и цифроаналоговые преобразователи (АЦП и ЦАП). АЦП ставит в соответствие непрерывной функции f(t), t ≥ t0 последовательность {f(tk)}=f(kDt), Dt=const, k = 0, 1, 2,…. В свою очередь, ЦАП осуществляет преобразование последовательности {fk, k = 0, 1, 2, ...} в некоторую непрерывную функцию, которая является аппроксимацией исходной функции f(t), t ≥ t0. Часто используют кусочно-постоянную аппроксимацию, поэтому такой преобразователь называют экстраполятором, или фиксатором нулевого порядка.