Тема математические модели дискретных систем управления мы редко до конца понимаем, чего действительно хотим (стр. 2 из 5)
Отсчеты по шкале времени удобно вести в целочисленных единицах периода квантования Т. С этой целью вместо переменной t непрерывной функции введем новую переменную t=t/T, при этом непрерывной функции x(t) будет соответствовать решетчатая функция х(k) º xk.
Теорема Котельникова-Шеннона. Процедура преобразования сигнала непрерывного времени x(t) к дискретному виду, квантованному по времени, называется квантованием. Такая процедура отражает как реальные процессы, проходящие в цифровых системах управления, так и математические операции, использующиеся в различных сферах теории информации. В результате квантования получается импульсная последовательность x(kT) (решетчатая функция), которая при t = kT совпадает с исходным сигналом:
x(kT) = x(t)|t=kT,
и не определена между отсчетами k. Потери информации при квантовании зависят от величины интервала квантования Т (частоты квантования 2p/T).
Выбор интервала Т обычно осуществляется из соображений теоретической возможности точного восстановления исходного сигнала по данной дискретной выборке. Согласно теореме Котельникова-Шеннона, если спектр сигнала x(t) ограничен максимальной частотой wmax, то точное восстановление функции x(t) теоретически возможно при условии, что на одном периоде максимальной частоты в сигнале имеется минимум два дискретных отсчета, т.е. частота квантования w должна быть более чем в 2 раза больше наибольшей частоты wmax в сигнале:
w ≥ 2wmax, T < p/wmax.
Разностные уравнения. Связь между значениями решетчатой функции при разных значениях аргумента определяется с помощью конечных разностей, которые являются аналогами производных в дифференциальных уравнениях.
Разностью первого порядка (первой разностью) называется разность между последующим дискретным значением решетчатой функции и ее текущим значением:
Dx(k) = x(k+1) – x(k).
Разность первого порядка характеризует скорость изменения решетчатой функции и, следовательно, является аналогом первой производной непрерывной функции.
Разность второго порядка определяется как разность двух соседних разностей первого порядка:
D2x(k) = Dx(k+1) - Dx(k) = [x(k+2)-x(k+1)] – [x(k+1)-x(k)] = x(k+2) - 2x(k+1) + x(k).
Разности любого m-го порядка вычисляются аналогично:
Dmx(k) = Dm-1x(k+1) - Dm-1x(k).
Dmx(k) =
(-1)n x(k+m-n) m!/[k!(m-n)!].Дискретизация автономных систем. Под дискретизацией системы подразумевается преобразование непрерывной динамической модели к дискретной форме описания в разностных уравнениях. При этом предполагается, что в моменты t = kT импульсные сигналы x(kT) полученной дискретной модели с определенной степенью точности повторяют значения сигналов x(t) исходной непрерывной системы.
C использованием разностных уравнений математическое описание линейных импульсных систем приводится к виду:
amDmx(k) + am-1Dm-1x(k) +…+ a0 x(k) = 0. (6.2.1)
где уравнение (6.2.1) является линейным разностным уравнением с постоянными коэффициентами аm (m=0, 1, 2,...), - аналог однородного линейного дифференциального уравнения при описании непрерывных динамических систем. Решение (6.2.1) дает значение дискретной переменной х(k) для каждого периода квантования.
Уравнение (6.2.1) можно записать в виде:
cn x(k+n) = 0. (6.2.2)Таким образом, в дискретной системе (6.2.1) процессы в квантованные моменты времени t-kT точно совпадают с процессами в исходной непрерывной системе. Так как решения дискретной системы в промежуточные моменты времени не определены, то корректный переход к дискретной форме предусматривает выбор интервала квантования Т в соответствии с теоремой Котельникова-Шеннона.
Дискретное z-преобразование. В теории импульсных систем для решения разностных уравнений используется дискретное преобразование Лапласа и его модификация - дискретное z-преобразование.
Преобразование Лапласа для непрерывной функции х(t):
X(р) =
x(t) exp(-pt) dt. (6.2.3)При переходе к дискретной функции x(kТ), заменяя интегрирование суммированием:
X(p) =T
x(kT) exp(-pkT). (6.2.4)Введем новую переменную z=exp(pt):
X(z) =T
x(kT) z-k . (6.2.5)Это уравнение представляет собой дискретное преобразование Лапласа, в котором выражение
X(z) =
x(kT) z-k . (6.2.6)называется z-преобразованием. Оно лежит в основе метода решения разностных уравнений. Дискретное преобразование Лапласа X(z) отличается от z-преобразования наличием нормирующего множителя Т. При анализе дискретных систем z-преобразование позволяет перейти от разностных уравнений к алгебраическим и существенно упростить анализ динамики дискретных систем.
В выражении (6.2.6) функция х(kТ) называется оригиналом решетчатой функции, a X(z) – ее изображением. Для обратного перехода от изображения к оригиналу (для нахождения исходной решетчатой функции по ее изображению) используется обратное z-преобразование:
x(kT) = (1/2pj) ∮ X(z) zk-1 dz.
Корни pi характеристического полинома непрерывной системы связаны с корнями zi характеристического полинома эквивалентной дискретной системы соотношением
zi = exp(Tpi). (6.2.7)
В общем случае, отображение (6.2.7) неоднозначно, и нескольким различным значениям pi может соответствовать одно и то же значение zi. Взаимно-однозначное соответствие корней непрерывной и эквивалентной дискретной систем выполняется только при интервале дискретизации, удовлетворяющем теореме Котельникова-Шеннона.
Преобразование непрерывного сигнала в цифровой код выполняется амплитудно-цифровыми преобразователями (АЦП) и включает три операции: квантование сигнала по времени, квантование по уровню и кодирование. Квантование по времени заключается в измерении непрерывной величины х(t) в дискретные моменты времени tk=kDt, Dt=const, k=0, 1, 2,…, и осуществляется импульсным элементом - ИЭ. На выходе импульсного элемента получается решетчатая функция x(tk).
 Рис. 6.2.1. |
Процесс квантования решетчатой функции х(tk) по уровню можно представить как прохождение сигнала х(tk) через нелинейный элемент с многоступенчатой релейной характеристикой - квантователь по уровню КУ (рис. 6.2.1). В результате квантования по уровню точно измеренные значения сигнала х(tk) заменяются приближенными ближайшими дискретными значениями хk º x(k) @ x(tk). Шаг квантования dk, характеризует точность преобразователя.
Учет квантования по уровню приводит к необходимости рассмотрения нелинейных цифровых систем. Анализ систем упрощается, если элемент с многоступенчатой релейной характеристикой представить в виде параллельного соединения линейного усилительного элемента с коэффициентом K = 1, характеристика которого изображена на рис.6.2.1 справа, и нелинейного элемента с характеристикой d(k), равной разности между линейной и релейной характеристиками. В этом случае квантованный по уровню сигнал можно представить, как сумму точного сигнала х(tk) и добавочного сигнала d(k), ограниченного по величине половиной ступени квантования:
Прежде чем сигнал х(k) поступает на цифровое вычислительное устройство (ЦВУ) системы, осуществляется его кодирование - преобразование в цифровой код хц(k). Если в ЦВУ используется двоичная система счисления, то с помощью кодирующего устройства К каждый импульс, поступающий с квантователя по уровню, преобразуется в двоичный цифровой код, соответствующий амплитуде этого импульса. Двоичные числа представляются в виде последовательности импульсов, разделенных интервалом времени t. Каждому разряду двоичного числа отводится интервал времени t' на выставление кодов 0 или 1 (обычно отсутствие или наличие определенного уровня напряжения).
На ЦВУ числа могут поступать последовательным или параллельным кодом. В первом случае разряды числа идут последовательно друг за другом по одному каналу, как правило, начиная с младшего. Одно число от другого отделяется специальным маркерным импульсом. Минимальный интервал Т передачи числа равен nt, где n - количество разрядов числа. При параллельном коде все разряды числа поступают одновременно по нескольким каналам, число которых равно числу разрядов. Так как при кодировании сигнала не происходит изменения информации, то передаточная функция кодирующего устройства равна единице.
Цифровое вычислительное устройство ЦВУ можно рассматривать как дискретный преобразователь, преобразующий входную последовательность чисел хц(k) в выходную yц(k) в соответствии с заложенной программой вычислений, представляющей собой алгоритм переработки информации. В дискретной линейной системе связь между входом и выходом (входной и выходной дискретными последовательностями значений сигнала – отсчетами), задается линейным оператором преобразования TL: