С. Н. Березинская, О. В. Сорокина, Е. И. Кугушев (стр. 6 из 7)
, 
, 
.Таким образом, в данной системе удары отсутствуют. Движение системы описывается следующим образом. Диск все время вращается с постоянной угловой скоростью. Центр диска движется по прямой до тех пор, пока конек не повернется в положение, направленное по скорости движения центра. Затем движение по касательной перейдет к обычной круговой траектории диска с двухсторонним коньком. Сойти с этой окружности траектория не сможет, т.к., безударный сход должен происходить по касательной к окружности, но из-за связи сход возможен только внутрь окружности.
7. Удар в неголономной системе.
Если на диске установлен обычный двусторонний конек,
и наложена односторонняя связь
. То такими же простыми рассуждениями получаем, что при однократном ударе скорость центра диска меняется на противоположную. Заметим, что движение будет иметь безударный характер и в общем случае, когда на систему наложены только неголономные односторонние связи
причем все компоненты вектора
неотрицательны: 
. Рассмотрим натуральную механическую систему 
Уравнения Лагранжа 2-го рода дают
Мера
неотрицательна и сосредоточена в тех точках траектории, где 
слева или справа. Допустим, что в момент 
траектория вышла на ограничение и мера имеет скачок 
. Тогда все его компоненты неотрицательны: 
и 
. Считаем, что при ударе полная энергия может рассеиваться. В точках скачка координаты и, значит, потенциальная энергия остаются непрерывными. Следовательно, в них может рассеиваться только кинетическая энергия: 
Подставив сюда условие скачка
, получим 
Воспользовавшись условием выхода на границу связи
получаем
Поскольку все компоненты векторов
и 
неотрицательны, то неотрицательно и первое слагаемое в неравенстве. Значит второе слагаемое неположительно. Однако, 
, как и 
– положительно определенная матрица, поэтому второе слагаемое обращается в ноль, т.е. 
и 
. Это означает, что скачки скорости отсутствуют, скорость является абсолютно непрерывной функцией. Рассмотрим малые колебания в системе с одной степенью свободы. Пусть лагранжиан имеет вид
и на систему наложено одно ограничение
. Обычной калибровкой приведем лагранжиан к виду 
Если удары абсолютно упругие, то в системе сохраняется энергия:
.Уравнения движения с мерами выглядят следующим образом.
(9.1)Причем мера
неотрицательна и сосредоточена в тех точка, где 
. Условия, при которых точка 
является положением равновесия, получаются подстановкой в уравнения движения значений 
. Они выглядят так: 
Поскольку мера
неотрицательна, то условием равновесия является 
. Если оно выполнено, то, взяв 
, мы удовлетворим уравнения движения для траектории 
. В соответствии с [4, 15], положение равновесия устойчиво, если потенциальная энергия 
имеет минимум в точке , при ограничениях 
. Достаточным условием этого является выполнение неравенства 
. Таким образом, если 
, то точка является устойчивым положением равновесия системы (9.1) при ограничении .Заметим, что другим достаточным условием устойчивости является система
, 
В этом случае точка
является устойчивым положением равновесия системы без односторонних ограничений. Здесь мы не будем рассматривать этот случай.Найдем частоту малых колебаний в окрестности положения равновесия. Удар считаем абсолютно упругим. Линеаризовав лагранжиан, получим
Линеаризованные уравнения движения приобретет вид
В линеаризованной системе также сохраняется энергия:
, 
Движение в окрестности точки
представляет собой повторяющиеся одинаковые безударные параболические участки, разделенные ударом о связь 
. Будем считать, что очередной удар произошел в момент 
. Найдем момент следующего удара. После удара координата 
увеличивается до того момента, когда скорость от значения 
упадет до нуля. Длина этого отрезка времени составляет
Длина полного безударного участка составляет
, и частота малых колебаний. Таким образом период малых колебаний системы падает вместе с энергией системы как ее квадратный корень.
(9.2) Рассмотрим плоское тело, свободно двигающееся по гладкой плоскости. Внутри тела вырезан тонкий канал
. Пусть в плоскости задана абсолютная система координат 
и в точке 
установлен “столбик”. В начальный момент тело расположено так, что этот столбик попадает в канал . На движение тела наложена односторонняя связь, состоящая в том, что “столбик” располагается в канале . Толщину “столбика” и ширину канала считаем нулевыми.