С. Н. Березинская, О. В. Сорокина, Е. И. Кугушев (стр. 4 из 7)

Односторонние связи в обобщенных координатах задаются системой неравенств

Группа условных связей задается системой условий

, при

где

–

матрица,

Неголономные односторонние связи задаются системой неравенств

где

– число связей,

–

матрица,

Для краткости записи обозначим

. Пользуясь формулой Лейбница (2.1), получаем

или, в матричной форме

(3.1)

Подставив соотношения

(3.2)

в уравнения удерживающих связей

, получим систему

которая должна тождественно выполняться при всех

. Отсюда

Домножив обе части (1.5) слева на транспонированную матрицу

получим

Матрица

абсолютно непрерывна. Применив формулу Лейбница (2.1) получаем на действительной траектории

Использовав (3.1-2), выводим отсюда

где

– кинетическая энергия системы. Введем вектор обобщенных сил

Заметив, что

и что это верно и для остальных матриц связей, получаем уравнения Лагранжа второго рода

(3.3)

Теорема Аппеля. Пусть в момент

траектория движения находится на границе односторонних ограничений, и скорость претерпевает скачок. Тогда вектор обобщенных импульсов

также имеет скачок. Обозначим

(для функции ограниченной вариации эти величины всегда существуют). Тогда из (3.3) получим в момент

, что

где

– некие вектора размерностей

, и

соответственно. Компоненты

неотрицательны. Помножив это равенство на любой вектор

, касающийся границы односторонних ограничений в точке

, получим

Т.е. сохраняются проекции вектора обобщенного импульса на плоскость касательную поверхности удара.

4. Циклические интегралы и теорема Рауса.

В этом разделе мы покажем, что теория Рауса игнорирования циклических координат справедлива и при наличии идеальных односторонних связей. Пусть силы имеют силовую функцию

. Введем, как обычно, функцию Лагранжа

. Уравнения движения (3.3) приобретут форму

(4.1)

Далее рассуждаем по обычной схеме. Обобщенная координата

называется циклической, если она не входит явно в функцию Лагранжа

и в условия односторонних связей, т.е.

. В силу уравнений движения (4.1) для циклической координаты

выполнено

Значит, величина

остается постоянной, т.е. является циклическим первым интегралом уравнений движения. Циклическую координату

назовём отделяющейся, если от нее не зависят матрицы

, т.е. для всех

выполняется условие

Пусть координаты

являются отделяющимися циклическими. Им соответствуют циклические интегралы

(4.2)

где

– константы интегралов. Циклические координаты в эти уравнения не входят. Будем считать, что уравнения (4.2) функционально независимы и, следовательно, разрешимы относительно циклических скоростей

, которые находим как функции позиционных координат

, позиционных скоростей

, констант циклических интегралов

и времени:

. Эти выражения подставляются в функцию Рауса

Теорема Рауса. Пусть

– траектория движения нашей системы, тогда для позиционных координат выполнены уравнения Лагранжа второго рода, в которых в качестве функции Лагранжа берется функция Рауса.

(4.3)