Сигнал
-четная функция времени – имеет постоянную составляющую, равную . Для упрощения вычисления амплитуд косинусоидальных гармонических составляющих добавим к этому сигналу величину .Тогда
Четные гармоники отсутствуют, а нечетные – это отрицательные косинусоиды с амплитудами
, поэтому можно записать в виде ряда:Суммарный сигнал:
Амплитудный спектр:
.Фазовый спектр:
,Где
.По этим формулам можно построить спектральные диаграммы амплитуд и фаз.
Пример 3.3. Найти спектральную плотность сигнала, приведенного на рис.6. Этот сигнал можно представить в виде алгебраической суммы сигналов:
.По таблицам преобразований Лапласа находим:
;На основании свойства линейности преобразования Лапласа получаем
Заменяя
запишем спектральную плотность сигнала:Полученное выражение показывает, что слагаемые спектральной плотности, соответствующие линейно изменяющимся во времени составляющим
и , убывают обратно пропорционально квадрату частоты, а слагаемое, соответствующее скачку ,- обратно пропорционально частоте в первой степени.3.3. Модулированные сигналы
При анализе свойств модулированных колебаний необходимо:
- по спектральной, векторной или временной диаграмме, по аналитическому описанию сигнала установить вид модуляции, параметры модуляции, форму модулирующего сигнала;
- по спектральной или векторной диаграмме найти аналитическое описание сигнала во временной области и наоборот, определив, периодическим или непериодическим сигналом осуществляется модуляция
- для представления узкополосного сигнала в виде квазигармонического колебания с медленно меняющейся огибающей и мгновенное частотой, используя для этого, при необходимости, преобразование Гильберта;
- построить временную и спектральную диаграммы огибающей,
временную диаграмму мгновенной частоты и оценить ширину диапазона ее изменения и практическую ширину спектра сигнала:
- в случае построения спектра модулированных по амплитуде импульсов показать связь спектров немодулированных импульсов и модулирующего сигнала со спектром модулированных импульсов;
- показать связь параметров модулирующего сигнала с параметрами модуляции, с временными и спектральными характеристиками сигнала;
- предложить способ, структурную схему формирования рассматриваемого сигнала, вытекающие из проведенного анализа.
Пример 3.4. На рис. 7 приведена спектральная диаграмма узкополосного сигнала
. Начальные фазы всех спектральных составляющих равны нулю. Найти огибающую и мгновенную частоту этого сигнала при , .Первый путь решения.
Сигнал
представляет собой сумму трех гармонических колебаний:Сопряженный по Гильберту сигнал:
Огибающая сигнала:
При конкретных значениях
, , и можно построить временную диаграмму . Максимальное значение огибающей:Огибающая A(t) образована путем нелинейного преобразования суммы трех гармонических колебаний с частотами
, , поэтому в спектре огибающей присутствуют комбинационные частоты вида где - целые положительные или отрицательные числа, включая нуль.Мгновенная частота определяется формулой:
,вычисления, по которой, хотя и не сложны, но громоздки.
Второй путь решения основан на свойствах АМ-колебаний и колебаний с угловой модуляцией при малом индексе. Для получения спектральных составляющих на частотах
и сформируем вспомогательные сигналыПри
получимОткуда видно, что приняв
, представляем в виде: ,Что при
соответствует спектральной диаграмме.С другой стороны, сигнал
можно разложить на квадратурные составляющиеФаза суммарного сигнала:
Мгновенная частота:
Пример 3.5. Построить амплитудный спектр сигнала, временная диаграмма которого показана на рис.8
Примем, что период
кратен . При отсутствии модуляции сигнал представляет собой последовательность прямоугольных периодических импульсов, которую можно представить в виде ряда Фурье: .При наличии модулирующих импульсов каждая гармоника сигнала
будет промодулирована по амплитуде прямоугольными импульсами с периодом и длительностью . Спектр модулирующего сигнала: