Рсчётно-графическая работа по предмету: Основы метрологии. Тема: «Обработка результатов многократных измерений» (стр. 3 из 4)
R=XMAX-XMIN;
R=28.04-13.05=14.99
3). Количество интервалов q:
q=5
4). Определяем: ∆X, nj, npj, P̃̃j =nj/n:
∆X=R / q;
∆X=14.99 / 5= 3.00;
nj1 = 11
nj2 = 26
nj3 = 47
nj4 = 12
nj5 = 4;
npj = n*∆x* P(xj);
npj1 =100*3.00*276.22=82866
npj2 =100*3.00*1045.10=313530
npj3 =100*3.00*1337.41=401223
npj4 =100*3.00*568.53=170559
npj5 =100*3.00*80.07=24021;
P̃̃̃j =nj/n:
P̃̃̃j1 =11/100=0,11
P̃̃̃j2 =26/100=0,26
P̃̃̃j3 =47/100=0,47
P̃̃̃j4 =12/100=0,12
P̃̃̃j5 =4/100=0,04
5). Построение эмпирической функции распределения F̃(x)
F̃(x)1 =0,11
F̃(x)2 =0,37
F̃(x)3 =0,84
F̃(x)4 =0,96
F̃(x)5 =1,00
6). Для определения гипотетической функции распределения:
а). Определим значение аргумента функции Лапласа, соответствующая правым границам всех интервалов:
Zj+1 =Xj+1 - mx ;
Sx
Zj+11 =16,05-19,71 = -1,28
2,86
Zj+12 =19,05-19,71 = -0,23
2,86
Zj+13 =22,05-19,71 =0,82
2,86
Zj+14 =25,05-19,71 =1,87
2,86
Zj+15 =28,05-19,71 =2,92
2,86
б). Определение значения функции Лапласа по таблице Ф(z).
Ф(z)1 = 3997= -0,3997
Ф(z)2 = 0909= -0,0909
Ф(z)3 = 2939=0,2939
Ф(z)4 = 4693=0,4693
Ф(z)5 = 4982=0,4982
в). Вычисление значения функции распределения F(x) предполагаемого в качестве теоретического закона распределения:
F(x)= 0,5+ Ф(z);
F(x)1 =0,5-0,3997=0,10
F(x)2 =0,5-0,0909=0,41
F(x)3 =0,5+0,2939=0,79
F(x)4 =0,5+0,4693=0,97
F(x)5 =0,5+0,4982=1,00
7). Найти абсолютное значение разности между значениями эмпирической и теоретической функциями распределения при одинаковых значениях аргумента, а затем выбрать наибольшую из них.
H=max | F̃(x)-F(x) |
H1 =0,11-0,10= 0,01
H2 =0,37-0,41= 0,04
H3 =0,84-0,79= 0,05
H4 =0,96-0,97= 0,01
H5 =1,00-1,00=0
Н=0,05
8). Вычислить значение функции λ.
λ =H*√n;
λ=0,05*√100=0,5
9). По заданному уровню значимости определить значение λα
λα =1,22
10). Если λ ≤ λα то выдвинутая гипотеза о принадлежности выборки к генеральной совокупности считается справедливой.
0,5<1.22
Неравенство соблюдено.
| J | Границы разрядов | nj | P̃̃̃j | F̃(x) | Zj+1 | Ф(z) | F(x) | H | |||
| Xj | Xj+1 | ||||||||||
| 1 | 13,05 | 16,05 | 11 | 0,11 | 0,11 | -1,28 | -0,40 | 0,10 | 0,01 | ||
| 2 | 16,05 | 19,05 | 26 | 0,26 | 0,37 | -0,23 | -0,09 | 0,41 | 0,04 | ||
| 3 | 19,05 | 22,05 | 47 | 0,47 | 0,84 | 0,82 | 0,29 | 0,79 | 0,05 | ||
| 4 | 22,05 | 25,05 | 12 | 0,12 | 0,96 | 1,87 | 0,47 | 0,97 | 0,01 | ||
| 5 | 25,05 | 28,05 | 4 | 0,04 | 1,00 | 2,92 | 0,50 | 1,00 | 0 | ||
ПОСТРОЕНИЕ ИНТЕГРАЛЬНЫХ КРИВЫХ.
Смотри приложение 2.
ΙV. Часть.
Проверка гипотезы о независимости последовательности результатов измерений на уровне значимости α., используя критерии знаков и критерии Тренда.
Критерий знаков.
Пусть получено N результатов измерений случайной величены X. Критерий знаков заключается в сравнении результатов измерений Xi величены X с некоторой величиной Me –медиана. Медиана –среднее число упорядоченного ряда то есть число, равно отстоящее от краёв. При чётном количестве членов медиана равна полу сумме средних значений. Если Xi>Me то «+», если Xi< Me то «-». Совокупность знаков последовательности «+» и «-», представляет собой серию τо . Число серий τ –случайная величена позволяет определить является ли результат данной последовательности измерений не зависимым.
При заданном уровне значимости проверка осуществляется путём сопоставления полученного числа серий τ с критическими точками τверхнее и τнижнее.
ВАРИАНТ № 1а.
1). Строим из чисел ранжированный ряд.
| 0,06 | 0,7 | 1,57 | 2,4 |
| 0,37 | 0,81 | 1,59 | 2,49 |
| 0,41 | 0,91 | 1,69 | 2,68 |
| 0,57 | 1,15 | 1,92 | 2,8 |
| 0,59 | 1,43 | 2,06 | 3,08 |
2). Ищем медиану.
При чётном количестве членов медиана равна полу сумме средних значений.
Me = (1,43+1,57) / 2=1,5
3). Подсчитываем τо
0.41<1.5; 0.59<1.5; 0.70<1.5; 1.59>1.5; 2.68>1.5; 1.92>1.5; 3.08>1.5; 2.40>1.5; 1.57>1.5; 0.57<1.5; 0.91<1.5; 0.37<1.5; 1.43<1.5; 2.49>1.5; 1.69>1.5; 2.80>1.5; 2.06>1.5; 1.15<1.5; 0.06<1.5; 0.81<1.5.
- - - + + + + + + + - - - - + + + + - - -
τо =5
4). Ищем τн и τв, проверяем неравенство.
α.=0.1
τн (N, 1- α./2)=0.95
τв (N, α./2)=0,05
| Уровень значимости α. | ||||||
| Число изм. N | 0,99 | 0,975 | 0,95 | 0,05 | 0,025 | 0,01 |
| 20 | 5 | 6 | 6 | 15 | 15 | 16 |
τн < τо < τв
6 > 5 < 15
Так как неравенство не выполняется, то гипотеза не принимается.
5). Строим график (Смотри приложение 3).
V. Часть.
Критерий Тренда.
Для последовательности N результатов измерений случайной величены X определяем число случаев, когда Xi>Xj где (i=1,2,3……N-1), (j=i+1,i+2……N) i<j.
Каждое неравенство называется инверсией при этом:
qij= Xj>Xi – «1»
Xj<Xi – «0»
Для i-го результата измерения инверсия равна:
N
Уi =∑qij
J=i+1
А общее число инверсии для всей последовательности результатов:
N-1
У0 =∑ Уi
i=1
Если полученные результаты измерений являются независимыми то число инверсий, есть величена случайная имеющая распределения f(У). Для распределения инверсии составляется таблица критических точек в зависимости от уровня значимости α.
Критерий Тренда обладает наибольшей мощностью при выявлении систематических зависимостей носящих монотонно возрастающий или убывающий характер.
1). Считаем Уi
N
Уi =∑qij
J=i=1
| 0,41 | 1,92 | 0,91 | 2,80 |
| 0,59 | 3,08 | 0,37 | 2,06 |
| 0,70 | 2,40 | 1,43 | 1,15 |
| 1,59 | 1,57 | 2,49 | 0,06 |
| 2,68 | 0,57 | 1,69 | 0,81 |
| У1 =2 | У6 =9 | У11 =3 | У16 =4 |
| У2 =3 | У7 =13 | У12 =1 | У17 =3 |
| У3 =3 | У8 =10 | У13 =3 | У18 =2 |
| У4 =8 | У9 =7 | У14 =5 | У19 =0 |
| У5 =13 | У10 =2 | У15 =3 |
2). Подсчитываем У0