А. В. Воронин (стр. 18 из 29)

Явные формулы метода Эйлера имеют вид

Неявные формулы запишутся следующим образом

Для перехода к матричной записи выполним ряд преобразований:

Здесь

,

Матричная запись имеет вид

Формулу (3.7), вообще говоря, необходимо применять итерационно. Решение этого уравнения, найденное для заданного начального приближения

, следует использовать в качестве очередного приближения в (3.7) и повторять формирование и решение линейного алгебраического уравнения до тех пор, пока два последовательных приближения не станут близкими с заданной точностью. При численном моделировании можно ограничиться только одной итерацией, выбирая достаточно малый шаг интегрирования и учитывая, что при этом значения переменных на предыдущем шаге являются достаточно хорошим приближением.

3.2.3. Выбор между явными и неявными методами в процедурах моделирования мехатронных систем

Выбор между явными и неявными методами представляет серьезную проблему. Многие специалисты считают неявные методы более мощным и универсальным инструментом для решения задач моделирования технических систем [23,15]. Следует, однако, заметить, что лишь недавно появились достаточно мощные и универсальные системы автоматизированного моделирования, такие, как, например, MATLAB или МВТУ [17], допускающие выбор явного или неявного метода решения задачи. Раньше использовались либо явные, либо неявные методы, так как это требовало разных компонентных моделей.

В современных перспективных системах автоматизированного моделирования, пригодных для моделирования мехатронных систем, применяются, как правило, неявные методы численного интегрирования. Неявные методы лучше приспособлены для решения систем дифференциальных и алгебраических уравнений, к тому же они более устойчивы. В результате, несмотря на большие затраты машинного времени на каждом шаге интегрирования, связанные с необходимостью решения СЛАУ, общие затраты могут быть значительно меньше за счет увеличения шага интегрирования и уменьшения общего количества шагов.

Рассмотрим эту особенность неявных методов на примере явного и неявного методов Эйлера [21], определяемых формулами (3.3) и (3.4), соответственно.

Применим указанные формулы для численного интегрирования простейшего линейного дифференциального уравнения

.

Характеристическое уравнение данной динамической системы имеет вид

, или , где – постоянная времени системы.

Единственный полюс системы находится в левой полуплоскости, следовательно, исходная система устойчива. Соответственно, любое решение уравнения, при

, стремится к нулю.

Разностное уравнение, соответствующее численному решению явным методом Эйлера, запишется как

.

Известно, что условием устойчивости полученного разностного уравнения является

или .

Это означает, что выбор

может качественно изменить вид решения, превратив устойчивый процесс в неустойчивый.

Таким образом, на шаг интегрирования наложено очевидное ограничение – он не может быть больше постоянной времени системы, иначе дискретная аппроксимация станет неустойчивой. Если система имеет несколько постоянных времени, то подобное ограничение связывает шаг интегрирования с самой маленькой постоянной времени.

Переход к методам более высокого порядка мало меняет картину. Для метода Рунге-Кутты 4-го порядка требование устойчивости ограничивает шаг величиной

, или, в более общем виде, , где – максимальное собственное значение матрицы Якоби [29].

Применение неявного метода Эйлера к той же системе дает

,

где ограничение на величину шага выглядит по другому:

,

что позволяет выбрать шаг любой величины, ориентируясь только на требуемый уровень погрешности.

3.2.4. Многошаговые методы интегрирования

До сих пор мы имели дело с методами, зависящими только от

и не использующими никаких предыдущих значений переменной. Такие методы называются одношаговыми и могут быть представлены в общем виде как

с соответствующей функцией

. Представляется вполне вероятным, что можно добиться большей точности, если использовать информацию о нескольких предыдущих точках Именно так поступают в многошаговых методах.

Вернемся к задаче Коши

и рассмотрим лишь один большой и важный класс многошаговых методов, который возникает на основе следующего подхода. Если подставить в приведенное дифференциальное уравнение точное решение

и проинтегрировать на отрезке , то получим

,

где в последнем выражении предполагается, что

- полином, аппроксимирующий . Чтобы построить этот полином, предположим, как обычно, что – приближения к решению в точках и узлы расположены равномерно с шагом . Таким образом, - полином степени , удовлетворяющий условиям Этот полином можно явно проинтегрировать, что ведет к методу

.

Для

, полином есть константа, равная , и мы получаем обычный метод Эйлера. Если , то – линейная функция, проходящая через точки и , т.е.

Интегрируя ее от

до , получаем следующее выражение:

, (3.10)

которое соответствует двухшаговому методу интегрирования, поскольку использует информацию в двух предыдущих точках. Аналогично, если

, то является квадратичным полиномом, а соответствующий трехшаговый метод имеет вид

. (3.11)

Методы, соответствующие формулам (3.10) и (3.11) называются методами Адамса-Бишфорта.

Процесс можно продолжить, используя интерполяционный полином все более высокого порядка. При этом получаются все более громоздкие формулы, но принцип остается тот же.