Задачи по моделированию средствами (стр. 3 из 10)

4. Метод математических моделей

Если попытаться одной фразой ответить на вопрос: ”Каким образом современная математика применяется к изучению физических, астрономических, биологических, экономических, гуманитарных и других явлений?”, то ответ будет таким: ”С помощью построения и анализа математических моделей изучаемого явления”. Что же такое математическая модель?

Под математической моделью понимают систему математических соотношений — формул, уравнений неравенств и т.д., отражающих существенные свойства объекта или процесса.

При построении математических моделей далеко не всегда удается найти формулы, явно выражающие искомые величины через исходные данные. В таких случаях используются математические модели, позволяющие дать ответы той или иной степени точности.

Изучение явлений с помощью математических моделей называется математическим моделированием. Схематически процесс математического моделирования представлен в следующей таблице:

Явление внешнего мира

Его приближенное описание. Запись основных свойств и соотношений между ними на математическом языке, формулировка основных математических задач

Решение математических задач, исследование решений

Выводы, новые свойства изучаемого явления, прогнозы, сравнение с известными результатами

Уточнение модели

Хорошо построенная математическая модель обладает удивительным свойством: ее изучение дает новые, неизвестные ранее знания об изученном объекте или явлении.

П р и м е р 1. В 1846 г. Французский астроном У.Ж.Ж.Леверье (1811-1877) открыл новую планету Солнечной системы и назвал ее Нептуном. Открытие этой планеты было сделано чисто математически, путем вычислений, так сказать, “на кончике пера”. Анализируя созданную И.Кеплером и И.Ньютоном модель движения планет Солнечной системы, ученые обнаружили, что фактическая траектория движения планеты Уран отклонялась от теоретически вычисляемого движения. Ж.Леверье предположил, что ”возмутителем порядка” является неизвестная планета, которая воздействует на планету Уран. Пользуясь моделью Солнечной системы, он определил массу и закон движения новой планеты, так что все противоречия и движения планеты Уран были сняты.

Немецкий астроном И.Г.Галле в 1846 г. наблюдал новую планету в точно указанном Леверье месте.

Аналогичным методом, благодаря использованию расхождения теоретически вычисленной траектории Нептуна с наблюдаемой, в 1930 г. была открыта еще одна планета Солнечной системы, названная Плутоном.

П р и м е р 2. Знаменитый английский физик Дж. К. Максвелл (1831 - 1879), изучая построенную им математическую модель классической электродинамики, из анализа уравнений модели предсказал существование электромагнитных волн, которые позднее были экспериментально обнаружены немецким физиком Г.Р.Герцем (1857 - 1894).

П р и м е р 3. Русский ученый А.А.Фридман (1888 - 1925), анализируя уравнения общей теории относительности, составленные А.Эйнштейном (1879 - 1955), в 1922 г. обнаружил, что кроме решений, не зависящих от времени, уравнения А.Эйнштейна имеют еще и другие решения, которые от времени зависят. Это привело к открытию того, что Вселенная расширяется и сжимается, т.е. пульсирует. Представление о пульсировании Вселенной стало основой всей современной космологии.

Математические модели, с помощью которых исследование явлений внешнего мира сводится к решению математических задач, занимают ведущее место среди других методов исследования и позволяют не только объяснить наблюдаемые явления, как это было, например, с движением планеты Уран, но и заглянуть туда, где еще в принципе не могло быть опытных, экспериментальных данных. Именно так было при проведении первых атомных и водородных взрывов. И это еще не все. Существуют сферы человеческой деятельности, где проведение экспериментов, получение экспериментальных результатов принципиально не возможны!

Например, невозможно экспериментировать над озоновым слоем Земли. Невозможно определить меру антропогенного воздействия на ноосферу, достаточную для ее разрушения, — неизвестно, найдется ли в этом случае на Земле место для человечества.

Развитие математического аппарата и внедрение мощных современных компьютеров позволили математическому моделированию, успешно зарекомендовавшему себя в технике, физике, астрономии и космологии, проникнуть сегодня практически во все области человеческой деятельности — в экономику и биологию, экологию и лингвистику, медицину и психологию, историю, социологию и т.д. По мере усложнения объектов исследования, роль математических моделей изучаемых явлений существенно возрастает. Появляется целая иерархия математических моделей, каждая из которых описывает изучаемое явление глубже, полнее, всестороннее.

5. Задачи по моделированию из различных предметных областей

5.1 Экономика

Задача 1

Машиностроительный завод, реализуя продукцию по договорным ценам, получил определенную выручку, затратив на производство некоторую сумму денег. Определить отношение чистой прибыли к вложенным средствам.

Постановка задачи

Цель моделирования — исследовать процесс производства и реализации продукции с целью получения наибольшей чистой прибыли. Пользуясь экономическими формулами найти отношение чистой прибыли к вложенным средствам.

Чистая прибыль — это прибыль после уплаты налога. При расчете налога на прибыль необходимо учитывать его зависимость от уровня рентабельности. Примем, если уровень рентабельности не превышает 50%, то с прибыли предприятия взимается налог в 32%. Если же уровень рентабельности превышает 50%, то с соответствующей суммы прибыли налог взимается в размере 75%.

Объектом моделирования является процесс производства и реализации некоторой продукции.

Разработка модели

Основными параметрами объекта моделирования являются: выручка, себестоимость, прибыль, рентабельность, налог с прибыли.

Исходные данные:

выручка B;

затраты (себестоимость) S.

Другие параметры найдем, используя основные экономические зависимости. Значение прибыли определяется как разность между выручкой и себестоимостью P=B-S.

Рентабельность r вычисляется по формуле:

.

Прибыль, соответствующая предельному уровню рентабельности 50%, составляет 50% от себестоимости продукции S, т.е. S*50/100=S/2, поэтому налог с прибыли N определяется следующим образом:

если r<=50, то N=P*32/100 р., иначе N=S/2*32/100+(P-S/2)*75/100.

Чистая прибыль Р_ч=Р-N.

И, наконец, результат решения этой задачи — отношение чистой прибыли к вложенным средствам q= Р_ч/S.

Так выглядит электронная таблица в формате отображения формул:

	A.	B.
1.	Рентабельность производства
2.	Исходные данные
3.	Выручка (р.)
4.	Себестоимость (р.)
5.
6.	Прибыль (р.)	=B2-B3
7.	Рентабельность (%)	=B4/B3*100
8.	Налог (р.)	=ЕСЛИ(B7<=50;B6*0,32;B4/2*0,32+(B6-B4/2)*0,75)
9.	Чистая прибыль (р.)	=B4-B6
10.	Отношение чистой прибыли к вложенным средствам	=B7/B3

Компьютерный эксперимент

1. Ввести в компьютерную модель исходные данные.
Например: B=3000; S=2000.

2. Исследовать, как изменяется отношение чистой прибыли к вложенным средствам, если менять только выручку, оставляя постоянной себестоимость.

3. Исследовать, как изменяется отношение чистой прибыли к вложенным средствам, если менять только себестоимость, оставляя постоянной выручку.

4. Как измениться модель, если налог вычисляется следующим образом:

рентабельность	<=30%	от 30 до 70%	>70%
налог	20%	40%	60%

Изменится только формула в ячейке B8.

8.

Налог (р.)

=ЕСЛИ(B7<=30; B6*0,2;ЕСЛИ(B7<=70; B6*0,4; B6*0,6))

Анализ результатов

Полученная модель позволяет в зависимости от рентабельности определять налог с прибыли, автоматически пересчитывать размер чистой прибыли, находить отношение чистой прибыли к вложенным средствам.

Проведенный компьютерный эксперимент показывает, что отношение чистой прибыли к вложенным средствам увеличивается при увеличении выручки и уменьшается при увеличении себестоимости продукции.

Задача 2

Леспромхоз ведет заготовку деловой древесины. Известен ее первоначальный объем, ежегодный естественный прирост, а также годовой план заготовки. Какой объем деловой древесины на данной территории будет через год, через 2 года и т.д. — до тех пор, пока этот объем не станет меньше минимально допустимого значения.