Задачи изучения дисциплины 5 4 Перечень дисциплин, усвоение которых необходимо для изучения данной дисциплины: 6 (стр. 1 из 19)

Курс «Вычислительные методы» изучается в 5 и 6 семестрах. В 5 семестре предусматривается изучение лекционного материала, выполнение двух контрольных работ и четырех лабораторных работ. В 5 семестре по результатам изучения дисциплины сдается компьютерный экзамен. В 6 семестре выполняется курсовая работа.

Отчетность: 5 семестр – экзамен;

6 семестр – дифференциальный зачет.

1.2 Цель преподавания дисциплины

Цель курса «Вычислительные методы» состоит в изучении общих принципов проведения вычислительного эксперимента, методов и алгоритмов решения стандартных задач вычислительной математики, современных программных средств для автоматизации вычислений.

1.3 Задачи изучения дисциплины

В результате изучения студенты должны:

знать: принципы проведения вычислительного эксперимента, характеристики вычислительных задач, источники погрешностей вычислений, основные методы и алгоритмы решения стандартных вычислительных задач;

уметь: выбирать и разрабатывать численные алгоритмы решения вычислительных задач; разрабатывать программы для решения таких задач;

иметь навыки: решения вычислительных задач с помощью современных математических пакетов.

1.4 Перечень дисциплин, усвоение которых необходимо для изучения данной дисциплины:

1) математика;

2) дискретная математика;

3) теория вероятности и математическая статистика;

4) информатика;

5) алгоритмические языки и программирование.

2 Программа лекционного курса

2.1 Введение в численные методы

Предмет и история развития вычислительной математики. Этапы решения задачи на ЭВМ. Вычислительный эксперимент. Погрешности вычислительного эксперимента.

Характеристики вычислительных задач. Устойчивые и неустойчивые, корректные и некорректные задачи. Примеры некорректных задач. Требования к вычислительным методам. Устойчивость, корректность, сходимость. Пример неустойчивого алгоритма.

2.2 Погрешности округления в ЭВМ

Представление чисел в ЭВМ. Машинный нуль и машинная бесконечность. Абсолютная и относительная погрешности. Округление чисел в ЭВМ. Машинный эпсилон. Накопление ошибок округления. Классическая формула для погрешности суммы, разности, произведения и частного.

Погрешности округления при выполнении арифметических операций в ЭВМ. Погрешности суммы двух и нескольких чисел. Зависимость погрешности от порядка суммирования. Погрешности произведения двух и нескольких чисел. Алгоритм вычисления произведения чисел. Правила выполнения арифметических операций в ЭВМ. Статистические оценки погрешностей. Примеры организации вычислений.

2.3 Вычисление значений функций

Вычисление значений полинома. Схема Горнера. Вычисление элементарных функций в ЭВМ. Способы вычисления. Показательная, логарифмическая, тригонометрическая функции. Вычисление квадратного корня.

2.4 Методы решения систем линейных алгебраических уравнений

Классификация и характеристики методов решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Прямые и итерационные методы. Методы Крамера, обратной матрицы. Метод Гаусса (схема единственного деления). Метод Гаусса с выбором главного элемента. Вычисление определителя и обратной матрицы методом Гаусса. Метод прогонки.

Погрешности решения СЛАУ. Нормы векторов и матриц. Оценка погрешностей. Число обусловленности. Оценка числа обусловленности.

Итерационные методы решения СЛАУ. Метод простых итераций (метод Якоби). Условия сходимости. Оценка числа итераций. Метод Зейделя.

2.5 Решение нелинейных уравнений с одним неизвестным

Прямые и итерационные методы решения. Число корней нелинейных уравнений. Отделение корней.

Методы уточнения корней. Метод дихотомии. Метод хорд. Метод Ньютона (касательных). Условия и скорость сходимости метода Ньютона. Модифицированный метод Ньютона и метод секущих.

Последовательный поиск корней алгебраического уравнения. Нахождение комплексных корней.

2.6 Решение систем нелинейных уравнений

Существование, число и характер решений систем нелинейных уравнений (СНУ). Ряд Тейлора для функций многих переменных. Метод простой итерации. Метод Ньютона. Условия сходимости метода Ньютона. Модифицированный метод Ньютона.

2.7 Моделирование случайных величин

Основные характеристики случайных величин. Получение случайных величин на ЭВМ. Генераторы случайных чисел. Метод Монте-Карло. Применение метода Монте-Карло для вычисления определенных интегралов.

2.8 Аппроксимация функций

Понятие приближения функций. Применение аппроксимации функций в САПР. Критерии близости функций. Оптимальная аппроксимация. Классификация задач аппроксимации.

Интерполяция функций. Задача линейной интерполяции. Линейная полиномиальная интерполяция. Интерполяционный многочлен Лагранжа. Разделенные разности и их свойства. Интерполяционная формула Ньютона. Интерполяция тригонометрическими полиномами.

Свойства интерполяционных моделей. Погрешность интерполяции. Многочлены Чебышева. Оптимальный выбор узлов интерполяции. Сходимость интерполяции. Теорема Фабера. Локальная интерполяция. Применение глобальной и локальной интерполяции.

Интерполяция с помощью сплайнов. Понятие сплайна. Построение кубического сплайна. Основные соотношения. Применение сплайнов.

Дискретная среднеквадратичная аппроксимация. Свойство сглаживания. Получение и решение нормальных уравнений. Применение среднеквадратичной аппроксимации.

Наилучшая равномерная аппроксимация. Теорема Чебышева. Теорема Валле-Пусена. Итерационный алгоритм нахождения наилучшего равномерного приближения. Применение наилучшей аппроксимации.

Аппроксимация методом разложения в степенной ряд. Многочлен Тейлора. Погрешность приближения многочленом Тейлора.

2.9 Численное дифференцирование и интегрирование

Прямое вычисление производных. Левая, правая и центральная разностные производные. Ошибки численного дифференцирования. Применение интерполяции.

Численное интегрирование. Формулы прямоугольников, трапеций, Симпсона. Ошибки численного интегрирования. Выбор шага интегрирования.

Учебно-методические материалы по дисциплине

Основная литература

- Бабак Л.И. Вычислительные методы. Курс лекций (части 1 и 3). - Томск: ТУСУР, 2002.

- Черкашин М.В. Вычислительные методы. Курс лекций (часть 2). - Томск: ТУСУР, 2002.

- Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики. – М.: Наука, 1966. – 664 с.

- Вержбицкий В.М. Численные методы (линейная алгебра и нелинейные уравнения): Учебное пособие для ВУЗов. – М.: Высшая школа, 2000. – 266 с.

- Вержбицкий В.М. Численные методы (математический анализ и обыкновенные дифференциальные уравнения): Учебное пособие для ВУЗов. – М.: Высшая школа, 2001. – 382 с.

- Турчак Л.И. Основы численных методов. – М., Наука, 1987. – 320с.

- Тихонов А.Н., Костомаров Д.П. Вводные лекции по прикладной математике. – М., Наука, 1984.

- Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы. – М., Наука, 1989. – 432с.

- Боглаев Ю.П. Вычислительная математика и программирование. – М., Высшая школа, 1990. – 544с.

Дополнительная литература