Задачи изучения дисциплины 5 4 Перечень дисциплин, усвоение которых необходимо для изучения данной дисциплины: 6 (стр. 6 из 19)
.В качестве начального приближения возьмем левую границу и середину найденного интервала, т.е. х(0)= –2,5, х(1)= (–2,5+(–2,0))/2 = –2,25.
1-я итерация:
2-я итерация:
3-я итерация:
Проверка: f(x(4)) = (–2,4142)2 + 2×(–2,4142) – 1 » –3,84×10–5.
Ответ: найденный корень равен x»–2,4142.
Задача 2
Функция y = f(x) задана таблично. Найти коэффициенты интерполирующего полинома
непосредственно из условий интерполяции. Рассчитать значение первой производной в точке 2,5. | i | 0 | 1 | 2 |
| x | 1 | 2 | 3 |
| y | –5 | –8 | –12 |
Решение:
Интерполирующий полином имеет следующий вид: Pn(x) = C0+C1 x + C2 x2. Для нахождения коэффициентов C0, C1, C2 составим следующую систему уравнений, используя условие интерполяции Pn(xi)= yi,
:C0+C1 x0 + C2 x02= y0
C0+C1 x1 + C2 x12= y1
C0+C1 x2 + C2 x22= y2
или в матричном виде
Þ AC=B,где
– вектор искомых коэффициентов полинома.Подставляем значения xi и yi из таблицы, получим
, т.е. 
.Решение данной системы можно выполнить методом обратной матрицы. Вектор искомых коэффициентов найдем по формуле C=A–1B:
.Таким образом, интерполирующий полином будет иметь следующий вид
Pn(x) = –3 – 1,5 x – 0,5 x2.
Проверка: Pn(x0) = Pn(1) = –3 – 1,5×1 – 0,5×12= –5;
Pn(x1) = Pn(2) = –3 – 1,5×2 – 0,5×22= –8;
Pn(x2) = Pn(3) = –3 – 1,5×3 – 0,5×32= –12.
Видно, что полученный полином проходит через заданные точки (xi, yi).
Получим значение первой производной: P'n(x) = – 1,5 – x.
Значение производной в точке x=2,5 равно P'n(2,5) = – 1,5 – 2,5 = –4.
Ответ: значение производной равно
(2,5) » P'n(2,5) = –4.Задача 3
Для функции y = f(x), заданной таблицей, с помощью метода наименьших квадратов (МНК) найти коэффициенты аппроксимирующей функции в виде Pn(x) = C0+C1 x
| i | 0 | 1 | 2 |
| x | 1 | 2 | 3 |
| y | 2 | 3 | 6 |
Решение:
В методе наименьших квадратов минимизируется сумма квадратов разностей между значениями функции
= C0+C1 x и измеренными значениями yi в точках xi, 
: 
.В нашем случае число точек равно 3, т.е. n=2. Тогда
.Дифференцируя функцию ошибки по переменным С0, С1, получим систему уравнений следующего вида:
В матричном виде эту систему можно записать как
или AC=B.Для решения данной системы используем правило Крамера:
, 
,где D – определитель матрицы коэффициентов A=
;D0 – определитель матрицы
, полученной из исходной матрицы коэффициентов A заменой первого столбца вектором свободных членов B.D1 – определитель матрицы
, полученной из исходной матрицы коэффициентов A заменой второго столбца вектором свободных членов B.Следовательно, решением данной системы уравнений будет
; 
Замечание: При преобразовании формул следует правильно выполнять действия с величинами, входящими под знак суммы. В частности, необходимо иметь в виду, что
, 
и т.д. В случае сомнений рекомендуется проверить преобразования, раскрывая знаки сумм при небольшом числе слагаемых. Например, раскрывая первую из приведенных формул при числе слагаемых n=2, легко убедиться, что 
.Подставляя в полученные выражения значения xi и yi из таблицы, получим:
; 
.Таким образом, аппроксимирующая функция будет иметь следующий вид: j(x) = –0,3333 + 2 x.
Проверка: для проверки построим график функции j(x) = –0,3333 + 2 x и нанесем на него точки (xi, yi).
Ответ: аппроксимирующая функция имеет вид j(x) = –0,3333 + 2 x.
Задача 4
Функция y = f(x) задана таблицей. В точке x=0,2 найти значения
по формулам левой, правой и центральной разностных производных, а также f''(x). | x | 0,15 | 0,20 | 0,25 |
| y | 0,0034 | 0,0080 | 0,0156 |
Решение:
Аппроксимация первой производной по формуле левых разностных производных (ЛРП) имеет следующий вид:
Отсюда получим
.Аппроксимация первой производной по формуле правых разностных производных (ПРП) имеет следующий вид:
Отсюда получим
.Аппроксимация первой производной по формуле центральных разностных производных (ЦРП) имеет следующий вид:
Отсюда получим
.Приближенное значение производной второго порядка получим следующим образом. Представим вторую производную с помощью правой разности:
,а производные первого порядка y'i+1 и y'i – c помощью левых разностей:
и окончательно получим