Задачи изучения дисциплины 5 4 Перечень дисциплин, усвоение которых необходимо для изучения данной дисциплины: 6 (стр. 2 из 19)

- Волков Е.А. Численные методы. – М., Наука, 1987. – 248с.

- Мак-Кракен Д., Дорн У. Численные методы и программирование на Фортране. – М., Мир, 1977.

- Каханер Д., Моулер К., Нэш С. Численные методы и программное обеспечение. – М., Мир, 1988. –575с.

- Копченова Н.В., Марон И.А. Вычислительная математика в примерах и задачах. – М.: Наука, 1972. – 368 с.

Методические указания и прочие учебно-методические материалы

- Потемкин В.Г. Система MATLAB: Справочное пособие – М., Диалог –МИФИ, 1997. –352с.

- Потемкин В.Г. MATLAB 5 для студентов. – М., Диалог –МИФИ, 1998. –314с.

- Черкашин М.В. Система для математических и инженерных расчетов MATLAB: Учебное пособие. - Томск: ТУСУР, 2002.

- Ракитин В.И., Первушин В.Е. Практическое руководство по методам вычислений с приложением программ для персональных компьютеров: Учебное пособие. – М.: Высшая школа, 1998, - 383 с.

3 Контрольные работы

3.1 Общие указания

Студентам необходимо выполнить две контрольных работы по курсу.

Вариант контрольной работы выбирается согласно формуле

N_в=(N*k) div 100,

где N_в – искомый номер варианта;

N – общее число возможных вариантов (N=10);

k – две последних цифры пароля (число от 00 до 99);

div – операция целочисленного деления.

Если получается N_в =0, то берется 10 вариант.

Студент выполняет вариант с одним и тем же номером во всех контрольных работах.

Ответы даются письменно или в электронном варианте с использованием тестового редактора MS Word.

При решении задач необходимо полностью приводить ход решения. Ответ на задачу пишется отдельной строкой под решением. Везде, где возможно, следует выполнять проверку полученного ответа.

3.2 Контрольная работа № 1

Контрольная работа № 1 выполняется после изучения разделов 2.1–2.4 и содержит 6 вопросов.

3.2.1 Пример решения типового варианта

Задача 1

Округлить по правилу симметричного округления число а^*=3,1415926 последовательно до тысячных, сотых и десятых. Найти предельные абсолютную и относительную погрешности каждого результата.

Решение:

При симметричном округлении за предельную абсолютную погрешность приближенного числа a принимается половина единицы последнего сохраняемого разряда числа. Таким образом, при симметричном округлении числа а^*=3,1415926 получим следующий результат:

а₁=3,1 – предельная абсолютная погрешность равна

(а₁)=0,05;

а₂=3,14 – предельная абсолютная погрешность равна

(а₂)=0,005;

а₃=3,142– предельная абсолютная погрешность равна

(а₁)=0,0005;

Предельную относительную погрешность числа можно определить по формуле:

.

Для нашей задачи получим:

;

;

.

Задача 2

С каким числом верных знаков в узком смысле следует взять число arcsin(1), чтобы относительная погрешность была не более 0,1%?

Решение:

Вначале вычислим:

а^*=arcsin(1)=p/2»1,57079 …

По значению предельной относительной погрешности

(а^*)=0,1 %=0,001

найдем предельную абсолютную погрешность числа а*:

(a^*) = a^*× (а^*) = 1,57079…×0,001 » 0,00158.

(по правилу округления предельной погрешности, последнюю сохраняемую цифру числа увеличиваем на единицу).

Представим число а^* в виде

а^*= 1,57079… = 1×10⁰ + 5×10^–1 + 7×10^–2 + 0×10 ^–3+ 7×10^–4+ 9×10^–5 + … и составим таблицу

Цифра	1	5	7	0	7	9	…
Единица разряда	1	0,1	0,01	0,001	0,0001	0,00001	…
Половина единицы разряда	0,5	0,05	0,005	0,0005	0,00005	0,000005	…

Сравнивая для каждой цифры половину единицы разряда с абсолютной погрешностью числа

(a^*) = 0,00158, получим, что а^* следует записать в виде а=1,57.

Проверка:

< 0,1 %.

Ответ: arcsin(1)=1,57 – число верных знаков (в узком смысле) равно 3.

Задача 3

Найти допустимые абсолютные погрешности аргументов

и , которые позволяют вычислить функцию f с точностью (f) = 0,2 %:

Решение:

Значение функции при x₁=2,4563 и x₂=0,8473 равно f(x₁, x₂) » 2,59833. Предельную абсолютную погрешность

(f) можно оценить следующим образом:

(f) = | (f) × f(x₁, x₂) | = 0,002×2,59833 » 0,0051967 = 0,006

(опять при округлении последнюю сохраняемую цифру погрешности увеличиваем на единицу).

Используя принцип равных влияний для предельных абсолютных погрешностей аргументов заданной функции, получим:

;

.

Таким образом, величины аргументов x₁=2,4563 и x₂=0,8473 следует брать с предельными абсолютными погрешностями

(x₁) = 0,005 и (x₂) = 0,0085.

Ответ:

(x₁) = 0,005; (x₂) = 0,0085.

Задача 4

Для матрицы

вычислить число обусловленности cond(A).

Решение: число обусловленности можно найти по формуле

cond(A)=||A||×||A^–1||,

где ||A|| – норма матрицы А; ||A^–1|| – норма обратной матрицы A^–1.

Найдем обратную матрицу, используя метод алгебраических дополнений.

Обратную к

матрицу A^–1 можно получить по формуле

,

где D – определитель матрицы А;

А_ij – алгебраическое дополнение элемента a_ij.

А_ij = (–1)^(i+j)×M_ij,

где M_ij – минор элемента a_ij, т.е. определитель (n–1)-го порядка, получаемый из определителя D вычеркиванием i-й строки и j-го столбца.

Для нашей задачи D=1×4 – 2×3= –2.

А₁₁=(–1)¹⁺¹×4 = 4; А₁₂=(–1)¹⁺²×3= –3; А₂₁=(–1)²⁺¹×2= –2; А₂₂=(–1)²⁺²×1=1.

Отсюда получим обратную матрицу

.

Используя разные нормы матриц (¥-норму и 1-норму), найдем число обусловленности матрицы А.

а) ¥-норма:

– максимальная сумма модулей элементов строк. Для нашей задачи:

||A||_¥= max{ | 1 |+| 2 |, | 3 |+| 4 | } = max{ 3, 7 } = 7;

||A^–1||_¥= max{ | –2 |+| 1 |, | 1,5 |+| –0,5 | } = max{ 3, 2 }=3.

б) 1-норма:

- максимальная сумма элементов столбцов. Для нашей задачи:

||A||₁= max{ | 1 |+| 3 |, | 2 |+| 4 | } = max{ 4, 6 } = 6;

||A^–1||₁= max{ | –2 |+| 1,5 |, | 1 |+| –0,5 | } = max{ 3,5, 1,5 }=3,5.

По полученным нормам рассчитаем число обусловленности матрицы

cond(A) = ||A||_¥×||A^–1||_¥ = 7×3 = 21;

cond(A) = ||A||₁×||A^–1||₁ = 6×3,5 = 21.