Задачи изучения дисциплины 5 4 Перечень дисциплин, усвоение которых необходимо для изучения данной дисциплины: 6 (стр. 13 из 19)

Примером может служить функция Рунге вида f(x)=1/(1+25x²), график которой представлен на рис. 4.2. С увеличением порядка интерполирующего полинома P_n(x) при равномерном распределении узлов интерполяции на интервале [–1, 1] происходит ухудшение качества приближения на краях интервала. Это объясняется тем, что производные функции Рунге, которые фигурируют в выражении для погрешности интерполяции (4.5), быстро растут с увеличением числа n.

Формула (4.5) показывает, что точность приближения зависит не только от числа узлов интерполяции (т.е. порядка интерполирующего полинома), но и от их расположения на интервале [a, b]. В простейшем случае выбирается равномерное расположение точек x_i,

на интервале [a, b] с шагом Dx = (b–a)/n. Однако, как показывает практика, равномерное расположение не является оптимальным с точки зрения лучшего приближения j(x) к зависимости f(x). Более оптимальным для полиномиальной интерполяции является расположение узлов на интервале [a, b] по формуле

, . (4.6)

Выражение (4.6) определяет так называемое оптимальное распределение узлов интерполяции на интервале [a, b].

4.4.3 Содержание лабораторной работы

При выполнении лабораторной работы используется программа-макет polinom.m, написанная в среде пакета для математических и инженерных расчетов MATLAB. Программа предназначена для решения задачи линейной полиномиальной интерполяции и позволяет вывести графики исходной f(x), приближающей j(x)=P_n(x) функций и ошибки интерполяции e(x), коэффициенты полинома P_n(x), значение максимальной ошибки

на интервале аппроксимации [a, b].

Студентам предлагается выполнить следующие задания в ходе данной лабораторной работы:

1) Изучить предлагаемую программу-макет polinom.m (текст программы см. в Приложении Б). Исходные интерполируемые функции (см. табл. 2 в приложении А) записать в виде m-файлов со структурой function.

2) Исследовать точность приближения с помощью полинома P_n(x) следующих трех функций (см. табл. 2 в приложении А):

а) функция 1 из таблицы 2;

б) полином P_m(x) из таблицы (выполнить расчет для случаев n<m, n=m, n>m, где n - порядок интерполирующего полинома);

в) функция 2 из таблицы 2.

Исследования выполнить при различном порядке n интерполирующего полинома P_n(x) и способе распределения узлов на интервале. Например, n = 3, 4, 5, 7, 10 – не менее 5-6 значений n для каждой из функций.

3) По результатам испытаний для каждой исходной функции заполнить таблицу или построить график зависимости максимальной ошибки e_max от порядка интерполирующего полинома n (числа узлов). Кроме этого, в случае 2б для полинома P_m(x) заполнить таблицу 4.1 и сравнить коэффициенты исходного P_m(x) и интерполирующего P_n(x) полиномов для случаев n<m, n=m, n>m).

Таблица 4.1 – Исследование интерполяции функции P_m(x)

Порядок полинома Pn(x)	Равномерное распределение узлов		Оптимальное распределение узлов
	коэффициенты полинома Pn(x)	emax	коэффициенты полинома Pn(x)	emax
n<m	C0 =	C0 =
	C1 =	C1 =
	…	…
	Cn =	Cn =
n=m	C0 =	C0 =
	C1 =	C1 =
	…	…
	Cn =	Cn =
n>m	C0 =	C0 =
	C1 =	C1 =
	…	…
	Cn =	Cn =

4) Оформить отчет по лабораторной работе. Отчет должен содержать следующие обязательные разделы:

Теоретическая часть (понятие полиномиальной интерполяции, формирование системы уравнений, используемый в программе метод решения полученной системы, ошибка приближения, способ распределения узлов интерполяции на интервале).

Вариант задания – номер варианта, приближаемые функции и интервалы интерполяции (из табл. 2 в приложении А).

Графики исходной функции f(x), интерполирующего полинома P_n(x) и ошибки e(x) на интервале интерполяции – для всех заданных приближаемых функций f(x) для одного из значений n.

Зависимость максимальной ошибки интерполяции от порядка интерполирующего полинома (количества узлов) в виде графика или таблицы для всех заданных приближаемых функций f(x).

Заполненная таблица 4.1.

Выводы по полученным результатам. В выводах объяснить зависимость ошибки интерполяции от степени интерполирующего полинома (использовать формулу для ошибки), от вида исходной функции и способа распределения узлов на интервале интерполяции.

4.5 Лабораторная работа № 4. Применение метода наименьших квадратов для сглаживания и выравнивания экспериментальных данных

Выполнение проектных операций и процедур в системах автоматизированного проектирования (САПР) основано на оперировании математическими моделями проектируемых объектов или технологических процессов.

Для решения задач, связанных с получением и хранением моделей, в состав современных САПР входят специальные информационные подсистемы. Важным разделом математического обеспечения таких подсистем является метод наименьших квадратов, который используется, в частности, для обработки результатов экспериментального определения параметров объектов и процессов при получении их математических моделей.

Цель работы: изучение методики сглаживания и выравнивания экспериментальных данных и получения математических моделей объектов и процессов по методу наименьших квадратов.

4.5.1 Теоретические сведения

Пусть данные некоторого эксперимента представлены в виде таблицы значений переменных x и y:

Таблица 4.2 – Исходные данные для аппроксимации

xi	x1	x2	…	xn
yi	y1	y1	…	yn

где x – независимая, а y – зависимая переменные.

Можно поставить задачу об отыскании аналитической зависимости между x и y, т.е. некоторой формулы y = j(x), явным образом выражающей y как функцию от x. Естественно требовать, чтобы график искомой функции y = j(x) изменялся плавно и не слишком уклонялся от экспериментальных точек (x_i, y_i). Поиск такой функциональной зависимости называют «сглаживанием» или «выравниванием» экспериментальных данных (см. рис. 4.3):

В частности, рассматриваемая задача встречается при построении математических моделей объектов и процессов, характеристики которых получены путем экспериментальных измерений. В этом случае требуется найти математическую модель y = j(x), которая достаточно хорошо будет приближать экспериментальные характеристики (x_i, y_i) реального объекта или процесса. Функцию y = j(x) иногда называют эмпирической зависимостью (моделью).

Если для получения модели y = j(x) использовать глобальную интерполяцию функции в узлах x_i,

с помощью полинома, то при большом числе узлов степень интерполяционного полинома будет высока, это приведет к усложнению вычислений и «колебаниям» y = j(x) между узлами. Между тем, на практике даже при большом количестве точек обычно нет необходимости в использовании полиномов высокой степени.

Кроме того, так как значения аппроксимируемой функции f(x) в точках x_i (т.е. значения y_i в таблице (4.1)) находятся в результате измерений, они будут содержать некоторые ошибки. Если применить интерполяцию измеренных величин y_i = f(x_i), то полученная математическая модель y = j(x) будет тщательно повторять все ошибки измерений.

Задачу сглаживания экспериментальных данных можно решать, используя метод наименьших квадратов (МНК). Согласно МНК, указывается вид аппроксимирующей функции y = j(x) (математической модели):

y = j(x, С₀, С₁, С₂, … , С_m) =

, (4.7)