Теоретическая и аналитическая механика методические указания по выполнению курсовой работы Часть 3 динамика для студентов специальности 200101 "Приборостроение" Санкт-Петербург 2010 (стр. 8 из 9)

Так как барабан вращается вокруг оси О, тележка движется поступательно, а каток — плоскопараллельно, то

; ; , (3)

где

, ( - радиус катка 3).

Все входящие сюда скорости надо выразить через обобщенные скорости

и . Очевидно, что , . Для определения рассмотрим движение катка как сложное. Учитывая, что определя ет положение точки D по отношению к тележке, получим , где численно , . Тогда, принимая во внимание, что при возрастании и х скорости и направлены в разные стороны и что точка Е для катка — мгновенный центр скоростей, получим

, .

Подставляя все найденные значения скоростей и значения

и в равенства (3) и учитывая, что , а , получим окончательно из (2) следующее выражение для :

. (4)

Отсюда находим

, ;

, . (5)

3. Теперь определим обобщенные силы

и . Изображаем действующие на систему активные силы: силы тяжести , , , силы упругости и ', где численно , и пару с моментом .

а) Для определения

сообщим системе возможное перемещение, при котором координата получает приращение , а не изменяется, т. е. (пружина при таком перемещении системы не изменяет свою длину). Тогда тележка и центр D катка получают одинаковые перемещения и элементарная работа действующих сил будет равна

.

Заменив здесь все величины их значениями, найдем в результате,

(6)

б) Для определения

сообщим системе возможное перемещение, при котором координата получает приращение , а не изменяется, т. е. (барабан не поворачивается и тележка не перемещается). Тогда элементарную работу совершат только силы и , учтя, что , получим . (7)

Коэффициенты при

и в равенствах (6) и будут искомыми обобщенными силами; следовательно, , . (8)

Подставляя величины (5) и (8) в уравнения (1), получим следующие дифференциальные уравнения движения системы:

, . (9)

4. Для определения

исключим из уравнений (9) . Получим дифференциальное уравнение вида ,

где

, . (10)

Общее решение уравнения (10), как известно из высшей математики, имеет вид,

где — общее решение однородного уравнения , т.е. , а — частное решение уравнения (10). Будем искать решение в виде . Подставляя значение в уравнение (10), получим . Таким образом, общее решение уравнения (10) имеет вид

, (11)

где

и — постоянные интегрирования. Для их определения найдем еще производную от по времени:

. (12)

По начальным условиям при

, (движение начинается из состояния покоя и пружина в этот момент не деформирована). Подставляя эти величины в уравнения (11) и (12), найдем из них, что , .

Окончательно получим искомую зависимость

в виде