Теоретическая и аналитическая механика методические указания по выполнению курсовой работы Часть 3 динамика для студентов специальности 200101 "Приборостроение" Санкт-Петербург 2010 (стр. 7 из 9)

Рис.Д4.0

Рис.Д4.1

Рис.Д4.2

Рис.Д4.3

Рис.Д4.4

Рис.Д4.5

Рис.Д4.6

Рис.Д4.7

Рис.Д4.8

Рис.Д4.9

Рис.Д4.10

Решение начать с выбора обобщенных координат, обозначив их

и или и . За координату принять удлинение пружины, отсчитываемое в сторону того из тел 3, 4 или 5 системы, к которому пружина прикреплена; например, если пружина прикреплена к этому телу в точке В и ее длина в произвольный момент времени равна , то , где — длина недеформированной пружины. За координату принять угол поворота крайнего блока (этот блок может быть и невесомым), отсчитывая от начального положения, Если в систему ни один блок не входит, а входят лишь тела 3 и 4, за координату принять расстояние тела 4 от начального положения. Соответствующие примеры даны на рис.Д4.10. Дальнейший ход решения разъяснен в примере Д4.

Пример Д4. Механическая система (рис.Д4) состоит из барабана 1 радиуса , к которому приложена пара сил с моментом , тележки 2 и катка 3 (барабан и каток — однородные цилиндры); веса всех тел равны соответственно , , ; весом колес тележки пренебречь. Тележка соединена с барабаном намотанной на него нитью, а с катком — пружиной , коэффициент жесткости которой равен . Система начинает движение из состояния покоя; пружина в этот момент не деформирована.

Дано:

, , ; ; ; , .

Определить: 1)

, где — удлинение пружины (или перемещение центра D катка по отношению к тележке 2);

2) частоту

и период . колебаний.

Решение. 1. Для решения задачи воспользуемся уравнениями Лагранжа. Рассматриваемая система имеет две степени свободы. Выберем в качестве обобщенных координат угол поворота барабана

и удлинение пружины ( ). Тогда уравнения Лагранжа будут иметь вид ; (1)

2. Определим кинетическую энергию

системы, равную сумме энергий всех тел: (2)