Методическое письмо Об использовании результатов государственной (итоговой) аттестации выпускников основной школы в новой форме в 2008 году в преподавании алгебры в общеобразовательных учреждениях (стр. 8 из 9)

Часто ученик может проверить себя, выполнив для самоконтроля, обратные преобразования. Если, например, нужно представить в стандартном виде число 0,000019, то, получив соответствующее произведение (а это должно быть 1,9^.10^-5), полезно решить обратную задачу – представить его в виде десятичной дроби.

При подготовке учащихся к выполнению второй части экзаменационной работы необходимо помнить о ее дифференцированном характере. Подбирая задания для тренировки, их следует соотносить с возможностями и потребностями каждого учащегося, а также с уровнем класса в целом. При этом не надо забывать, что хорошую отметку, и даже «пятерку», можно получить, не выполняя два последних задания работы. Важно, чтобы и учащиеся были об этом информированы.

Задания второй части экзаменационной работы выполняются с записью решения. Единственное общее требование к оформлению решения заключается в следующем: записи должны быть математически грамотными, из них должен быть ясен ход рассуждений учащегося. При этом не следует требовать слишком подробных письменных комментариев. Во всяком случае, не надо требовать описания алгоритмов (например, построения графика, решения неравенства). Лаконичное решение (без пропуска важных шагов), не содержащее неверных утверждений, все выкладки, которого правильны, должно рассматриваться как решение без недочетов.

Надо учитывать, что возможны разные формы ответа. Можно употреблять любую принятую запись, главное, чтобы она была грамотной. Так, при решении квадратного уравнения можно просто перечислить его корни: 2; –3; или записать: х₁ = 2, х₂ = –3. При решении неравенства ответ может быть дан как в виде промежутка, например, [–3; +∞), так и в виде простейшего неравенства х ≥ -3. При записи области определения функции можно использовать теоретико-множественную символику, например,

, или писать короче: и .

Многие задачи, предлагаемые на экзамене, допускают разные способы решения. Ученик вправе решать задачу любым из них. Соображения типа «можно решить более рационально, более красиво и пр.» при оценивании не играют роли. Однако в ходе подготовки целесообразно показывать учащимся наиболее интересные и рациональные решения, знакомить их с некоторыми общими приемами решения тех или иных видов задач. Это будет служить пополнению их «математического багажа», и в конечном итоге, их математическому развитию.

Приведем примеры решения некоторых задач из различных разделов курса, которые включались в экзаменационные работы в разные годы.

■ П р и м е р 1. Представьте выражение

в виде произведения двух многочленов.

Преобразование «в лоб» ни к чему не приведет. Поэтому воспользуемся следующим приемом: перемножим попарно крайние и средние множители – при этом полученные произведения будут содержать одинаковые члены:

= .

Введем новую переменную:

. В результате получим квадратный трехчлен , для которого способ разложения на множители известен: = . Вернувшись к переменной х, получим: .

Таким образом,

= .

Учащимся полезно знать, что прием введения новой переменной для приведения выражения к более простому виду довольно часто оказывается полезным: при преобразовании выражений, решении уравнений, неравенств, систем. Так, при решении системы уравнений

замена , позволяет «избавиться» от дробей. При решении уравнения замена позволяет избавиться от корня и свести уравнение к квадратному. При решении неравенства замена позволяет получить стандартное квадратное неравенство , алгоритм решения которого известен. При упрощении выражения замена позволяет «разглядеть» в числителе разность кубов и сократить дробь.

■ П р и м е р 2. Имеет ли произведение ab, где b = 5 – a, наибольшее значение, и если имеет, то при каких а и b оно достигается?

Подставив в произведение ab вместо b разность 5 – a, получим:

. Теперь надо исследовать квадратный трехчлен . Воспользуемся свойствами квадратичной функции. Ее график – парабола. Коэффициент при а² отрицателен, поэтому ветви параболы направлены вниз, и функция имеет наибольшее значение.

Так как корни трехчлена – числа 0 и 5, то абсцисса вершины параболы равна 2,5. Таким образом, наибольшее значение трехчлен

, а, значит, и произведение ab, принимает при а = 2,5. Найдем соответствующее значение b: . Ответ: имеет; при а = b = 2,5. ■

При ответе на вопрос задачи мы опирались на свойства квадратичной функции. Вообще, решение многих экзаменационных задач основано на применении функциональных свойств выражений. Так, для того, чтобы доказать, что выражение

при любых х принимает положительные значения, надо показать, что квадратный трехчлен всегда положителен.

Чтобы найти наибольшее значение выражения

нужно представить эту дробь в виде и воспользоваться тем, что выражение вида а² принимает наименьшее значение при а = 0. Похожим образом обстоит дело с заданием, в котором нужно найти наименьшее значение суммы . Так как выражение вида принимает наименьшее значение при а = 0, то необходимо, чтобы одновременно равнялись нулю подкоренные выражения и .

Факт существования наименьшего значения у функции

, где a > 0, используется и при доказательстве того, что уравнение не имеет корней. В самом деле, наименьшее значение каждого из этих двух квадратных трехчленов равно 1, но достигается оно при разных значениях х.

■ П р и м е р 3. Имеются два раствора одной и той же соли разной концентрации – 35% и 60%. В каком отношении надо взять первый и второй растворы, чтобы получить раствор, концентрация которого 40%?

Пусть х – масса первого раствора, у – масса второго раствора (выраженные в одних единицах). Тогда, количество соли в первом растворе составляет 0,35х, а во втором – 0,6у. Масса нового раствора равна х + у, а количество соли в нем 0,4(х + у). Получаем уравнение:

; ; х = 4у; .

Ответ: первый и второй растворы надо взять в отношении 4 : 1. ■

Решая задачу, мы получили одно уравнение с двумя переменными, но при этом смогли ответить на вопрос, так как надо было найти не конкретные значения х и у, а их отношение. Вообще, при решении многих текстовых задач возникают аналогичные ситуации – уравнений получается меньше, чем переменных. Но в таких задачах, как правило, вопрос ставится таким образом, что находить значения всех величин, обозначенных буквами, не требуется. Постановка вопроса в таких задачах обычно такова: найти отношение величин, их сумму, натуральные решения и др.