Методическое письмо Об использовании результатов государственной (итоговой) аттестации выпускников основной школы в новой форме в 2008 году в преподавании алгебры в общеобразовательных учреждениях (стр. 4 из 9)

Результаты выполнения задания на применение рекуррентной формулы оказались очень низкими, существенно ниже прогнозируемых. Выскажем некоторые предположения о причинах такой ситуации. Вполне возможно, что учащиеся ошибались при вычислениях, хотя умение найти число, обратное данному, безусловно, относится к обязательным требованиям. Но, скорее всего, основная причина состоит в другом – в непонимании самой формулы.

Анализ опыта преподавания темы «Прогрессии» показывает, что учителя в силу разных причин практикуют узко прагматичный подход к отбору учебного материала, ограничиваясь лишь формулами и решением некоторых стандартных задач, т.е. формируя только специальные знания, а не общекультурные. В результате учащиеся не осознают сущностные аспекты содержания данного вопроса, безусловно имеющие общеобразовательное значение. В частности, важной составляющей математической грамотности современного человека является понимание символических обозначений, однако опыт показывает, что рекуррентные формулы рассматриваются мимоходом и достаточно формально, они не осознаются школьниками как символическая запись вычислительного алгоритма. Поэтому перенос знания на аналогичную, но все же новую ситуацию затруднен, что бывает в случае ориентировки учащихся не на существенные, основополагающие отношения, а на внешние, ситуативные.

Результаты выполнения заданий второй части работы

Ниже в таблице 7 представлены результаты выполнения заданий, представляющих следующие блоки содержания: выражения и их преобразования, уравнения и системы уравнений, неравенства, координаты и графики, арифметическая и геометрическая прогрессии. В последнем столбце таблицы приведен суммарный процент учащихся, справившихся с указанным заданием без недочетов или допустивших непринципиальную погрешность. Как и для части 1, в таблицах приводится не средний процент, а разброс по территориям, причем представлен наиболее массовый диапазон. Отклонения от приводимого диапазона записаны отдельно через запятую. Все отклонения в данном случае всегда в сторону увеличения процента учеников, справившихся с заданием; они получены по выборке, в которой достаточно высок удельный вес школ повышенного уровня.

Таблица 7. Результаты выполнения заданий части 2

№	Содержание задания	Уровень[2]	Выполнили верно (%)
1	Разложение многочленов на множители: применение способа группировки и последующего вынесения общего множителя за скобки	П1	57-60, 67
2	Применение аппарата неравенств для нахождения области определения алгебраического выражения	П2	20-26, 35
3	Комбинированная задача по теме «Арифметическая прогрессия»	П2	15-19, 25
4	Решение системы двух уравнений с двумя переменными	В	18-19, 31
5	Решение задачи геометрического содержания на координатной плоскости с опорой на графические представления	В	2-4, 8

Прежде всего, отметим значительный разброс в результатах выполнения заданий по территориям, который отражен в таблице. При этом процент верного выполнения практически никогда не превышает прогнозируемого.

Первое задание направлено на проверку владения умением выполнять в несложных случаях разложение многочлена на множители способом группировки. Владение этим умением важно для тех учащихся, которые изучают математику на уровне, требующем уверенного применения алгебраического аппарата к решению математических задач. Результат выполнения этого задания можно считать удовлетворительным. С ним справилось около 60% школьников. При этом анализ результатов показывает, что чуть более 10% девятиклассников успешно применили метод группировки, но не довели разложение на множители до конца.

Следующее задание также относится к повышенному уровню, но отличается от первого в качественном отношении: оно требует комплексного применения нескольких алгоритмов, относящихся к разным разделам курса, умения видеть и анализировать структуру выражения в целом. А именно, надо учесть условие существования квадратного корня и решить квадратное неравенство, учесть условие существования дроби и найти значения х, при которых знаменатель не равен нулю, и, наконец, исключить эти значения из множества решений квадратного неравенства, если они туда попадают. В целом результат выполнения этого задания также удовлетворительный – с таким непростым комплексным заданием справилось по разным территориям от 20% до 35% выпускников.

Если описанное выше задание носит в основном формально-оперативный характер с некоторым логическим шагом, то следующее задание (на арифметическую прогрессию) отличается от него качественно. Результаты его выполнения почти во всех территориях (кроме одной) ниже прогнозируемых (15%-19%) и соответствуют диапазону задач высокого уровня. В этом прослеживается некоторая закономерность. Как уже отмечалось при анализе выполнения первой части экзаменационной работы, учащиеся всегда затрудняются при интерпретации, применении знаний. В данном случае надо было, прежде всего, дважды распознать арифметическую прогрессию, далее применить формулу суммы первых n членов арифметической прогрессии для суммирования натуральных чисел и чисел, кратных 3. Но основная «изюминка» данной задачи – это логический шаг: чтобы найти сумму чисел, не делящихся на 3, надо найти сумму всех натуральных чисел до заданного числа включительно и вычесть из нее сумму тех чисел, которые делятся на 3. Этот логический прием имеет общий характер и применяется при решении многих задач повышенного уровня, и обучение математике обязано формировать у сильных учащихся соответствующее умение. Никакими специальными приемами для решения подобной задачи владеть не надо, все необходимые фактические знания учащиеся получают в общем курсе алгебры основной школы. В силу этого такая задача имеет право на существование, а ее результаты указывают некоторое направление совершенствования преподавания.

Следующее задание (решение системы уравнений) можно назвать нестандартным; такие системы, если и встречаются в учебниках, то не отрабатываются, но чаще они встречаются в курсах повышенного уровня. Фактические знания, требуемые для ее решения, не выходят за рамки обязательного минимума содержания, но чтобы решить ее, надо свободно владеть этими знаниями и уметь применить их в нужной ситуации. Результаты по этой задаче удовлетворительные, при этом есть территория, где процент выполнения даже выше прогнозируемого.

Последнее задание – задача, решаемая с опорой на графические представления. Приведем пример одного из вариантов:

Задание 5. Найдите все значения k, при которых прямая

пересекает в трех различных точках график функции

Эта задача, безусловно, трудная. Её решение предполагает два этапа. Первый – технического характера, заключающийся в построении графика. Этот этап для хорошо подготовленного школьника не должен представлять затруднений. Вся суть этой задачи – во втором этапе, требующем проведения некоторого исследования. Надо увидеть границы, в которых должна «вращаться» прямая

, чтобы иметь с графиком три общие точки, и найти граничные значения коэффициента k. Решение, в котором присутствует только первый этап и не сделано никакой попытки перейти ко второму, т. е. не найдено идеи решения, не должно оцениваться положительным баллом. В этом случае задача считается нерешенной.

Но во всех территориях нашлись выпускники, которые справились с этой задачей. Это, безусловно, потенциал профильных классов с высокими требованиями к уровню математической подготовки.

Остановимся теперь на некоторых типичных недочетах и недостатках, которые показали просмотр и проверка письменных решений учащихся заданий второй части экзаменационной работы.

Одной из важных целей обучения математике является формирование умения ясно, точно, логически грамотно выражать свои мысли, как в устной, так и в письменной форме. Однако цель эта достигается далеко не всегда. Так, работы учащихся свидетельствуют об отсутствии у них общих представлений о том, что собственно нужно указывать и комментировать в ходе решения той или иной задачи, какие моменты решения действительно являются существенными. Достаточно часто встречаются обширные (на 2-3 страницы) «сочинения», содержащие такие, безусловно, ненужные комментарии, как словесное описание применяемых алгоритмов. Например, в задании, где требуется построить график функции, составленный из частей двух парабол, учащиеся подробно описывают словами полное построение каждой из них, что по существу противоречит вспомогательной роли этого этапа работы. При этом, увлекшись описанием, они могут забыть выделить на рисунке итоговый график.