Учебно-методическое пособие для учителей и учащихся Автор -дьячков Алексей Константинович, учитель математики моу сош №153 г. Челябинска, Заслуженный учитель РФ (стр. 5 из 9)
I. способ:
II. Пусть x1 и x2 - корни данного квадратного трехчлена. Тогда по теореме Виета:
III. x1. x2 = 9p - 5
IV. x1 + x2 = -2(p + 1)
V. Найдем дискриминант:
VI. D = 4(p2 - 7p + 6)
VII. Так как по условию задания корни существуют и различны, то D > 0. Так как оба корня отрицательны, то составим систему:
VIII.
при p 
; 1 
(6; + 
)оба корня квадратного трехчлена отрицательны. IX. способ:
X. Рассмотрим функцию f(x) = x2 + 2(p + 1)x + 9p - 5. Графиком функции является парабола с ветвями, направленными вверх и отрицательными нулями функции.
Составим систему:
ОТВЕТ: при p ; 1 (6; + )оба корня квадратного трехчлена отрицательны. 4. При каком значении параметра а один корень уравнения 2ax2 -2x -3a - 2 = 0 больше 1, а другой - меньше 1?
Так как по условию уравнение должно иметь два различных корня, то уравнение должно быть квадратным, то есть a = 0 - контрольное значение
· если a = 0, то x = -1 не удовлетворяет заданию
· если a
0, то поделим обе части на 2а:·
·
· D > 0
· 6a2 + 4a +1 > 0
· Решив это неравенство, получаем, что а - любое, кроме нуля.
Решением этой системы будет a (- ; -4) (0; + )ОТВЕТ: при a (- ; -4) (0; + )один корень уравнения больше 1, а другой - меньше 1. 5. Найдите все значения параметра а, при которых оба корня уравнения ax2 -2(a - 1)x + 2 - 3a = 0 больше 1?
a = 0 - контрольное значение
· если а = 0, то уравнение имеет один корень,
· если а
0, то поделим обе части уравнения на а (чтобы перед старшим коэффициентом была 1):·
·
·
·
·
при любом а, кроме нуля.·
·
·
· ОТВЕТ: не существует таких значений параметра а, при которых оба корня уравнения больше 1. 6. При каких значениях параметра а уравнение (a -1)x2 -2ax + 2 - 3a = 0 имеет единственное решение, удовлетворяющее неравенству x > 1?
Старший коэффициент обращается в ноль при а = 1
а = 1 - контрольное значение параметра
· если a = 1, то -2x + 2 - 3 = 0 x = -0.5
· Уравнение имеет единственное решение, но оно не удовлетворяет условию задания.
· если a
1, то поделим на (а - 1):·
·
· Рассмотрим функцию:
·
· Должны выполняться условия:
·
·
при любом а, кроме а = 1. 
Должна выполняться система:
a
(0.25; 1)ОТВЕТ: при a (0.25; 1) уравнение имеет единственное решение, удовлетворяющее неравенству x > 1. Свойства квадратичной функции используются при решении заданий из различных разделов математики. Найти все целые значения параметра а, при которых функция 
принимает значения меньшие трех.
Неравенство принимает вид
, функция 
- убывает, значит х2 + 2x + 2a2 - 3a > -1, то есть х2 + 2x + 2a2 - 3a + 1 > 0f(x) = х2 + 2x + 2a2 - 3a + 1(функция имеет вид квадратичной, и её графиком является парабола, ветви вверх).
Рассмотрим эту параболу:
выражение больше 0, следовательно, парабола не имеет пересечений с осью ОХ.Так как
всегда больше 0, то D < 0 или 
-a2 + 3a < 0
a (3 - a) < 0
При a
(- ; 0) (3; + ) функция принимает значение, меньшее трех.ОТВЕТ: целые а: -3; -2; -1; 
4; 5; ... B данном примере нам не пришлось рассматривать возможные значения параметра, и решение свелось к решению квадратного уравнения, но это не всегда так.
Преобразовав данное уравнение, получаем:
9x(a + 1) + 4y + a - 2 = 0
Обозначим 3x за y, причём он должен быть положительным, так как основание степени положительно.
(a + 1)y2 + 4y + a - 2 = 0
Так как уравнение становится линейным, то a = -1 - контрольное значение параметра
· если a = -1, то 4y-3=0
· если а
-1, тогда уравнение имеет вид квадратного, можно найти D·
(необходимое условие того, чтобы уравнение имело корни 
)· -a2 + a + 6
0· a2 - a - 6
0· D 2 = 25
· a1 = 3 a2 = -2
·
Достаточно ли промежутка а
[-2; 3] для того, чтобы исходное уравнение имело корни?