Учебно-методическое пособие для учителей и учащихся Автор -дьячков Алексей Константинович, учитель математики моу сош №153 г. Челябинска, Заслуженный учитель РФ (стр. 4 из 9)

Для решения составим систему:

Если f (-1) > 0, то 1 - a + 1 - a² > 0

a² + a - 2 < 0

a

(-2; 1)

Если f (1) < 0, то 1 + a + 1 - a² < 0

a² - a - 2 < 0

a

(-1; 2)

Дискриминант неотрицателен при условии, что

5a²

4

a²

0.4

a

- ; - ; +

Последнее условие: вершина по модулю меньше 1

a

(-2; 2)

Получаем систему:

ОТВЕТ: при a -1; - ; 2 корни уравнения лежат на промежутке (-1; 1)

При каких значениях параметра а корни уравнения ах² + (2a - 1)x + a - 1 = 0 меньше 1?

Для того чтобы быть уверенным в положительном коэффициенте перед х² умножим всё уравнение на параметр.

а²х² + (2a - 1)аx + a(a - 1) = 0

Должны выполняться следующие условия

Рассмотрим первое условие f(1)>0:

а²+(2a-1)а+ a(a- 1) > 0

4а² - 2a > 0

2a(2a - 1)> 0

Решениями данного неравенства будут а

(- ; 0) (0.5; + )

Абсцисса вершины параболы должна быть меньше 1:

это равносильно

Получаем, что а

(- ; 0) (0.25; + )

Найдём дискриминант данного уравнения:

D = (2a - 1)²а² - 4(a - 1)a³

D

0

4a⁴ - 4a³ + a² - 4a⁴ + 4a³

0

a²

0, отсюда следует, что a R.

Из трех полученных промежутков формируем общее решение.

ОТВЕТ: при a (- ; 0) (0,5; + ) корни уравнения больше 1.

2. При каких значениях параметра а, все решения уравнения (a - 1)х² - (a + 1)x + a = 0 удовлетворяют условию 0 < x < 3.

a = 1 - контрольное значение параметра а

· если а = 1, то -2x + 1 = 0; x = 0,5.

· Этот корень удовлетворяет условию 0 < x < 3, а значит является подходящим решением.

· если а

1, то можем домножить на (а - 1).

· Уравнение принимает вид (a - 1)²х² - (a - 1)²х + а(a - 1) = 0

Введём функцию f (x) = (a - 1)²х² - (a - 1)²х + а(a - 1) и задание можно перефразировать так: при каких значениях параметра а нули функции принадлежат промежутку (0;3)?

Для данного условия составим систему и схематичный вид параболы:

f(0) > 0 f(0) = a(a - 1) a(a - 1) > 0 а (- ; 0) (1; + )f(3) > 0 f(3) = 9(a - 1)² - 3(a² - 1) + a(a - 1) = 7(a - 1)(a -

) (a - 1)(a -

) > 0 а (- ; 1) ; + D 0 D = (а² - 1)² - 4(a - 1)³ (а² - 1)² - 4(a - 1)³ 0 После всех преобразований получим: (a - 1)²(3a² - 6a - 1) 0Разложим правую часть неравенства на множители: -3a² + 6a + 1 = 0 D = 36 + 12 = 48 a_1,2 = 3(а - 1)

a -

а - 0 Получается, что a ; 0 < x₀ < 3 x₀ = Из исходного неравенства получаем систему:

Объединив полученные решения составим систему:

В ответе записывается решение системы.

ОТВЕТ: при a {1} ; все решения уравнения удовлетворяют условию 0 < x < 3.

3. При каких значениях параметра p оба корня квадратного трехчлена x² + 2(p + 1) + 9p - 5 отрицательны?