Учебно-методическое пособие по специальным разделам высшей математики Самара 2006 (стр. 3 из 7)
Приведем правую часть равенства к общему знаменателю
и приравняем числители получившихся дробей: 
Найдем А, В, С, D. Согласно методу частных значений
(см. задачу 14) полагаем
, тогда равенство примет вид 
откуда 
. Далее применяем метод неопределенных коэффициентов, приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях слева и справа.Так, для х получим равенство
откуда 
; для 
имеем 
, откуда 
; для 
получим 
, откуда 
Итак,
Вычисляем интеграл
Задача 16. Вычислить
, если l задана уравнением 
Решение. Воспользуемся формулой (27) вычисления криволинейного интеграла I рода для кривой, заданной в полярных координатах:
Получим
Согласно формуле (20)
Тогда
Задача 17. Найти массу дуги кривой
, если плотность кривой 
Решение. Применяем формулу (28) вычисления массы дуги с помощью криволинейного интеграла I рода:
Формула (25) позволяет преобразовать криволинейный интеграл в определенный:
Так как
, получаем 
Задача 18. Найти работу вектор-силы
на криволинейном пути 
Решение. Работа А, совершаемая вектор-силой
на криволинейном пути L, есть криволинейный интеграл II рода (формула (32)), т. е.
Кривая задана параметрически, поэтому применяем формулу (31):
где
Тогда
Задача 19. Вычислить
, если D ограничена линиями 
Решение. На рисунке построена область D – криволинейный треугольник.1 способ. Двойной интеграл можно вычислить по формуле (33):
Здесь
поэтому
2 способ. Можно использовать формулу (34):
Тогда
Значит,
Задача 20. Вычислить 
,где D – правая половина кольца (см. рисунок).
Решение. Будем вычислять интеграл в полярных координатах по формуле (35):
Здесь
.Так как
(формулы перехода к полярным координатам), то 
Тогда уравнения окружностей
и 
принимают вид 
Следовательно,
Ряды
Задача 21. Определить, какие ряды сходятся:
А)
Б) 
В) 
Решение.
1. К ряду
применим радикальный признак Коши: если 
, то положительный ряд 
сходится при 
и расходится, когда 
Так как
, то ряд расходится.2. Рассмотрим ряд
Проверим необходимое условие сходимости: если ряд 
сходится, то 
.Поскольку
, необходимое условие не выполняется, значит ряд расходится.3. При исследовании сходимости ряда
можно воспользоваться предельным признаком сравнения положительных рядов: если существует конечный и отличный от нуля предел 
то положительные ряды и 
одинаковы в смысле сходимости.Для сравнения возьмем обобщенный гармонический ряд
, сходящийся при 
и расходящийся для 
При 
получим сходящийся ряд 
.Применим теорему сравнения
Предел конечен и отличен от нуля, поэтому ряд
также сходится.Задача 22. Исследовать на сходимость ряды:
1)
2) 