Учебно-методическое пособие по специальным разделам высшей математики Самара 2006 (стр. 2 из 7)

получим

Задача 9. Вычислить

.

Решение. Выделим в числителе производную от знаменателя:

Первый интеграл вычисляем, сделав замену

, тогда . Имеем

Второй интеграл преобразуем, выделив в знаменателе полный квадрат:

. Тогда с учетом формулы (14) получим

Итак, исходный интеграл равен

Задача 10. Вычислить

.

Решение. Выделим в числителе производную подкоренного выражения

Первый интеграл вычисляется путем замены

, тогда Имеем

Второй интеграл преобразуем путем выделения полного квадрата в подкоренном выражении:

Тогда с учетом формулы (16) получим

Следовательно, исходный интеграл равен

Задача 11. Вычислить

.

Решение. При интегрировании иррациональных выражений вида

(здесь R – рациональная функция; - целые числа) подстановка , где к – наименьшее общее кратное знаменателей , позволяет избавиться от иррациональности. В данном случае Наименьшее общее кратное этих чисел равно 6. Применяем подстановку

Тогда

и

Возвращаясь к переменной х с учетом того, что

, получим

Задача 12. Вычислить

.

Решение. При вычислении интегралов вида

, где R – рациональная функция, используется универсальная тригонометрическая подстановка , приводящая к интегралам от рациональных относительно t функций, при этом

, .

Из равенства

находим .

В данном случае получаем

Сделаем замену

Тогда

Возвращаясь к переменной х, получим

Задача 13. Вычислить

.

Решение. Интегралы вида

, , , где R – рациональная функция, приводятся к интегралам вида , если выполнить замену переменной:

- для первого интеграла

(или );

- для второго интеграла

(или );

- для третьего интеграла

(или ).

Данный интеграл вычисляем заменой

.

Тогда

.

Получаем

.

,

тогда

Возвращаясь к старой переменной при

, получаем

Задача 14. Вычислить

Решение. Для вычисления интеграла разложим подынтегральную функцию – дробь – в сумму простейших дробей. Множителю

соответствует сумма двух простейших дробей , а множителю - дробь .

Тогда подынтегральная функция будет иметь вид

Правую часть равенства приведем к общему знаменателю (он должен быть равен знаменателю левой части равенства) и приравняем числители получившихся дробей:

.

Найдем А, В, С. Сначала применяем метод частных значений. Равенство должно выполняться при любых х, поэтому подставим вместо х «хорошие» числовые значения (обращающие часть скобок в 0). Здесь это 1 и -2. При

получим и . При равенство принимает вид , а . В найдем методом неопределенных коэффициентов, согласно которому приравнивают коэффициенты при одинаковых степенях х в левой и правой частях равенства. Например, при . Тогда .

Итак,

Вычисляем интеграл

Задача 15. Вычислить

Решение. Разложим подынтегральную функцию в сумму простейших дробей. Множителю

будет соответствовать сумма множителю - дробь . Тогда получим разложение