Линейная алгебра, аналитическая геометрия, начала математического анализа. Учебно-методическое пособие по специальным разделам высшей математики Самара 2005 (стр. 7 из 11)
Задача 43.
Найти максимальную скорость возрастания функции
в точке М(2;1).Решение.
Известно, что максимальная скорость возрастания функции
равна модулю градиента, а сам градиент – это вектор 
Найдем градиент функции
: 
Вычислим градиент в точке М(2;1):
Тогда максимальная скорость возрастания функции
Задача 44.
Найти производную функции
в точке М(1;-3) в направлении вектора 
Решение.
Производная функции
по направлению вектора 
определяется по формуле 
где
- направляющие косинусы вектора , 
Найдем частные производные функции
: 
Их значения в точке М(1;-3) равны
Вычислим направляющие косинусы вектора
Тогда производная функции по направлению равна
Задача 45.
Найти экстремум функции
,если
Решение.
I способ.
Необходимо найти экстремум функции
при условии, что переменные x и y подчиняются уравнению связи 
Составим функцию Лагранжа
Точки экстремума находим, решая систему уравнений:
Так как
то 
Находим
Решаем систему уравнений
Итак, получена точка экстремума (1;2). Вычисляем
Определяем характер экстремума, сравнивая значение 
со значением функции в любой другой точке, удовлетворяющей условию 
Например, 
значит, в точке (1;2) – минимум.II способ.
Преобразуем уравнение связи:
и подставим его в данную функцию 
Получили функцию одной переменной у. Исследуем её на экстремум:
Определим знаки производной и промежутки монотонности функции:
 |  | 2 |  |
 | - | 0 | + |
  |  | 6 min |
Следовательно, точка
является точкой минимума.Таким образом, функция
имеет минимум в точке с координатами 
Задача 46.
Функцию
исследовать на экстремум в точках 
и 
.Решение.
Функция
может достигать экстремума только в стационарной точке, то есть такой, что 
Найдем частные производные первого порядка
Подставив координаты точек
и 
, убеждаемся, что обе точки стационарные.А:
В:
Согласно достаточным условиям экстремума в стационарной точке
функция имеет1) минимум, если
2) максимум, если
3) отсутствие экстремума, если
Здесь
Вычисляем частные производные второго порядка
Рассмотрим точку
.Так как
то в точке - минимум.Рассмотрим точку
.Так как
то в точке 
- максимум.ТРЕНИРОВОЧНЫЙ ТЕСТ
| № | Задания | Варианты ответов | ||||
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | ||
| 1 |  Найти сумму элементов 3 столбца матрицы В. | 34 | -18 | 28 | -26 | 14 |
| 2а |  . Найти  . |  |  |  |  |  |
| 2б | Найти сумму элементов 3 строки матрицы  , если  . |  |  |  |  |  |
| 3а | Дана система уравнений  . Найти  | 19,-38,-2 | 19,-19,-1 | 19,38,2 | 19,19,1 | 19,57,3 |
| 3б | Решить систему уравнений  , приняв в качестве базисных переменных  : |  |  |  |  |  |
| 4а | Найти  , если  ,  ,  . |  |  |  |  |  |
| 4б | Вектор  ортогонален вектору  . Найти  . | 7 | -1 | 5 | 9 | -3 |
| 4в |  ,  . Найти  . |  |  |  |  |  |
| 5а | Найти площадь треугольника с вершинами в точках  ,  ,  . |  |  |  |  |  |
| 5б | Известно, что  ,  , а угол между  и  равен  . Найти  . | 0 |  |  |  | 1 |
| 6а | Определить  , при котором компланарны векторы  ,  ,  . |  |  | 1 |  |  |
| 6б | Найти объем треугольной пирамиды с вершинами в точках  ,  ,  ,  . |  |  |  | 40 |  |
| 7а | Уравнение прямой, проходящей через точки  и  имеет вид: |  |  |  |  |  |
| 7б | Уравнение прямой, проходящей через точку  перпендикулярно плоскости  имеет вид: |  |  |  |  |  |
| 7в | Определить, при каких  и  параллельны прямые  и  |  |  |  |  |  |
| 8а | Составить уравнение плоскости, проходящей через точки  ,  ,  . |  |  |  |  |  |
| 8б | Определить, при каком  прямая  параллельна плоскости  . | 1 | -7 | -3 | 2 | 5 |
| 9а | Найти собственные значения матрицы  | 0 и 25 | 1 и 9 | 0 и 20 | 5 и 25 | 20 и 25 |
| 9б | Найти координаты вектора  в базисе  ,  . |  |  |  |  |  |
| 9в | Определить вид и расположение кривой  | Гипербола с центром в точке  | Парабола с вершиной в точке  | Эллипс с центром в точке  | Гипербола с центром в точке  | Эллипс с центром в точке |
| 9г | Составить уравнение гиперболы, фокусы которой расположены на оси ординат симметрично относительно начала координат, если ее действительная полуось  , а расстояние между фокусами  . |  |  |  |  |  | |||||||||||
| 10а | Найти точку пересечения прямой  и плоскости  |  |  |  |  |  | |||||||||||
| 10б | Канонические уравнения прямой пересечения двух плоскостей  имеют вид: |  |  |  |  |  | |||||||||||
| 10в | Составить уравнение плоскости, проходящей через точки  ,  параллельно вектору  . |  |  |  |  |  | |||||||||||
| 10г | Составить уравнение плоскости, проходящей через прямые:  ,  |  |  |  |  |  | |||||||||||
| 11а | Вычислить  |  |  | -5 |  | -4 | |||||||||||
| 11б | Вычислить  |  |  | 0 |  | 1 | |||||||||||
| 11в | Вычислить  |  |  |  | -1 | 0 | |||||||||||
| 12 | Вычислить  |  |  | 0 |  | 1 | |||||||||||
| 13 | Вычислить  |  |  |  |  |  | |||||||||||
| 14 |  . Найти  . |  |  |  |  |  | |||||||||||
| 15 |  . Найти  . |  |  |  |  |  | |||||||||||
| 16 |  . Вычислить  в точке  . | -240 | 180 | 210 | -160 | 280 | |||||||||||
| 17а | Найти  , если  . | 0 |  |  |  |  | |||||||||||
| 17б |  , где  ,  . Найти  при  ,  . |  |  |  |  |  | |||||||||||
| 17в | Найти  , если  ,  . |  |  |  |  |  | |||||||||||
| 18а | Найти асимптоты кривой  . |  |  |  |  |  | |||||||||||
| 18б | Найти интервал(ы) убывания функции  . |  |  |  |  |  | |||||||||||
| 18в | Найти интервал(ы) выпуклости функции  . |  |  |  |  |  | |||||||||||
| 18г | Дана функция  . Найти точки разрыва и установить их характер. |  |  |  |  |  | |||||||||||
| 19а | Найти максимальную скорость возрастания функции  в точке  . |  |  |  |  |  | |||||||||||
| 19б | Найти производную функции  в точке  в направлении вектора  . |  |  |  |  |  |
| 19в | Найти экстремум функции  , если  . |  |  |  |  |  |
| 19г | Функцию  исследовать на экстремум в точках  и  . | А- точка максимума В – точка максимума | А – точка минимума В не является точкой экстремума | А- точка максимума В – точка минимума | А- точка минимума В – точка максимума | А – точка минимума В – точка минимума |
| 20а | Вычислить  . |  | 0 | 1 |  |  |
| 20б |  . Вычислить  . |  |  |  |  |  |
| № задания | 1 | 2а | 2б | 3а | 3б | 4а | 4б | 4в | 5а | 5б | 6а | 6б | 7а | 7б | 7в |
| Правильный ответ | 3 | 2 | 4 | 3 | 5 | 4 | 1 | 2 | 5 | 3 | 2 | 1 | 3 | 4 | 4 |
| № задания | 8а | 8б | 9а | 9б | 9в | 9г | 10а | 10б | 10в | 10г | 11а | 11б | 11в | 12 | 13 | 14 |
| Правильный ответ | 2 | 3 | 1 | 5 | 3 | 4 | 2 | 2 | 2 | 5 | 4 | 4 | 3 | 5 | 2 | 3 |
| № задания | 15 | 16 | 17а | 17б | 17в | 18а | 18б | 18в | 18г | 19а | 19б | 19в | 19г | 20а | 20б |
| Правильный ответ | 5 | 1 | 2 | 1 | 3 | 1 | 2 | 4 | 5 | 1 | 2 | 5 | 4 | 3 | 5 |
ТАБЛИЦА ПРОИЗВОДНЫХ ОСНОВНЫХ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ