Линейная алгебра, аналитическая геометрия, начала математического анализа. Учебно-методическое пособие по специальным разделам высшей математики Самара 2005 (стр. 6 из 11)

Тогда наклонная асимптота имеет вид

Задача 40.

Найти интервалы убывания функции

Решение.

Функция

убывает, если , и возрастает, если Найдем

Определим знаки производной и промежутки монотонности функции:

			-

Итак, функция убывает на интервале

.

Задача 41.

Найти интервалы выпуклости функции

Решение.

Функция

является выпуклой, если и вогнутой, если . Найдем

Определим знаки

, а также промежутки выпуклости и вогнутости функции:

		-3		0
		0	-		+		-

Итак, функция выпукла при

Задача 42.

Дана функция

Найти точки разрыва и установить их характер.

Решение. Функция

называется непрерывной в точке , если определена в некоторой окрестности этой точки и имеет в ней конечный предел, причем

Последнее равенство означает, что

Точки, в которых не выполняется, хотя бы одно из перечисленных условий, называются точками разрыва функции

. Различают точки разрыва I и II рода.

Если

- точка разрыва и хотя бы один из односторонних пределов не существует или равен , то это разрыв II рода.

В том случае, когда

- точка разрыва, но односторонние пределы конечны, имеем разрыв I рода:

устранимый, если

со скачком, если

(величина скачка

).

Рассмотрим заданную функцию при

. Здесь Функция не определена в точке , значит в этой точке разрыв.

Вычислим односторонние пределы:

Итак,

значит, при имеем устранимый разрыв I рода.

Если

то Функция не определена в точке значит это точка разрыва.

Вычислим односторонние пределы.

Так как

- точка разрыва II рода.

В качестве точки, подозрительной на разрыв, следует рассмотреть

, так как при переходе через эту точку функция меняет свой вид.

В этой точке функция определена:

Найдем односторонние пределы:

Итак, для точки

односторонние пределы конечны и различны, значит это разрыв I рода со скачком

Таким образом, заданная функция имеет 3 точки разрыва: устранимый разрыв I рода при

; разрыв II рода при разрыв I рода со скачком при .