Линейная алгебра, аналитическая геометрия, начала математического анализа. Учебно-методическое пособие по специальным разделам высшей математики Самара 2005 (стр. 4 из 11)
Задача 21.
Составить уравнение плоскости, проходящей через прямые
Решение. Пусть
- произвольная точка искомой плоскости. Обозначим 
- направляющие векторы прямых, 
Уравнение искомой плоскости получим, записав условие компланарности векторов 
где А – точка, лежащая в искомой плоскости (в качестве такой точки можно взять любую точку, принадлежащую любой из двух прямых, например, А(-1; 0; 3). Так как 
получим 
или 
Задача 22.
Найти собственные значения матрицы
Решение. Собственные значения
и 
матрицы А находим, решая характеристическое уравнение: 
Задача 23.
Найти координаты вектора
в базисе 
Решение. При разложении вектора
по базису 
, 
, необходимо представить в виде 
Здесь
- есть координаты вектора в базисе , .Запишем это равенство в координатной форме
Оно равносильно системе уравнений
Решим систему, например, по формулам Крамера.
Тогда
Значит, координаты вектора
в базисе , 
.Задача 24.
Определить вид и расположение кривой
Решение.
Чтобы определить, какая кривая представлена данным уравнением, необходимо привести уравнение к каноническому виду. Для этого выделим полные квадраты при переменных x и y.
Полученное уравнение соответствует уравнению эллипса
с полуосями
и центром в точке 
Задача 25.
Составить уравнение гиперболы, фокусы которой расположены на оси ординат симметрично относительно начала координат, если её действительная полуось равна 3, а расстояние между фокусами
Решение. Уравнение гиперболы, фокусы которой расположены на оси ординат симметрично относительно начала координат, имеет вид
Действительная полуось этой гиперболы
. Найдем а из соотношения: 
Так как
и 
Итак, искомое уравнение гиперболы
или 
Задача 26.
Вычислить
Решение.
Числитель и знаменатель дроби неограниченно возрастают при
В этом случае говорят, что имеет место неопределенность вида 
Разделим числитель и знаменатель дроби на старшую степень переменной, то есть на 
Так как при
каждая из дробей 
, 
стремится к нулю, получим 
Задача 27.
Вычислить
Решение.
При
числитель и знаменатель дроби стремятся к 0. Это неопределенность вида 
Разложим на множители числитель и знаменатель дроби и выполним сокращение:
Задача 28.
Вычислить
Решение.
В данном случае имеет место неопределенность вида
так как при 
числитель и знаменатель стремятся к нулю. Умножим числитель и знаменатель дроби на выражения, сопряженные к ним, то есть на 
Задача 29.
Вычислить
Решение. При
числитель и знаменатель – бесконечно малые величины. Заменим их эквивалентными бесконечно малыми.Так как при
~ 
, 
~ 
, то 
~ 
~6x.Теперь можно воспользоваться формулой
где 
- бесконечно малые, причем ~ 
, 
~ 
.