~ Считая новой базисной переменной у, исключим её из 1-го уравнения. Для этого умножим 2-е уравнение на 2 и сложим с первым:
В каждом уравнении выбирают одну базисную переменную, оставшиеся переменные называют свободными (в данном случае это х).
Запишем систему уравнений, соответствующую последней матрице:
Выразив базисные переменные (у и z) через свободную (х), получим общее решение системы уравнений
Задача 6.
Найти 
Решение. Воспользуемся формулой
где
- скалярное произведение векторов 
и 
. Вычислим
: 
Найдем модули векторов
Тогда
Задача 7.
Вектор
ортогонален вектору 
Найти 
Решение.
Так как вектор
ортогонален вектору 
, то 
, и, значит, скалярное произведение этих векторов тоже равно нулю:
С другой стороны
Итак,
и 
Задача 8.
Найти
, если 
Решение. Проекция вектора
на вектор 
определяется по формуле
. Найдем координаты вектора
:
Вычислим скалярное произведение векторов
и
и модуль вектора
Тогда
Задача 9.
Известно, что
а угол между и 
равен 
Найти 
.Решение.
Согласно определению векторного произведения
имеет место формула 
Тогда
Подставив исходные данные, получим
Задача 10.
Найти площадь треугольника с вершинами в точках
Решение.
Площадь треугольника, построенного на векторах
и , может быть найдена по формуле: 
где
векторное произведение векторов 
и 
.Примем
, 
Вычислим координаты векторов 
и 
: 
Найдем векторное произведение этих векторов
Тогда
Следовательно,
Задача 11.
Определить
, при котором компланарны векторы 
и 
Решение.
Условие компланарности трех векторов имеет вид
где
- смешанное произведение векторов 
и - вычисляется по формуле
Подставляя исходные данные, получим
откуда 
Задача 12.
Найти объём треугольной пирамиды с вершинами в точках
Решение. Найдем координаты векторов
, 
, 
, на которых построена пирамида: 
Вычислим смешанное произведение этих векторов
Объём треугольной пирамиды, построенной на векторах
, , 
, равен
