Методические рекомендации к решению задач по начертательной геометрии для студентов всех специальностей, изучающих дисциплину «Начертательная геометрия и инженерная графика» (стр. 2 из 3)
 |
| Рисунок 4 – Определение угла γ наклона прямой АВ к профильной плоскости проекций П3 |
2 ПЛОСКОСТЬ
Плоскость – это также одно из основных понятий геометрии. При систематическом изложении геометрии плоскость обычно принимается за одно из исходных понятий, которое лишь косвенным образом определяется аксиомами геометрии. Некоторые характеристические свойства плоскости:
а) плоскость есть поверхность, содержащая полностью каждую прямую, соединяющую любые ее точки;
б) плоскость есть множество точек, равноотстоящих от двух заданных точек.
Плоскость в линейной алгебре – поверхность первого порядка. В декартовой системе координат плоскость может быть задана уравнением первой степени.
Общее уравнение плоскости:
Ах+Ву+Сz+ D =0,
где А, В, С и D – постоянные, причем А, В и С одновременно не равны нулю.
2.1 Главные линии плоскости
Среди прямых линий, принадлежащих плоскости, особое значение имеют прямые, занимающие частное положение в пространстве – это прямые уровня.
Горизонтали h – прямые, лежащие в данной плоскости АВС и параллельные горизонтальной плоскости проекций П1 (h є ABC, h //П1, h2 //Ох, h3 //Оу) (рисунок 5).
 |  |
| модель | эпюр |
| Рисунок 5 – Горизонталь плоскости АВС | |
Фронтали f – прямые, лежащие в данной плоскости АВС и параллельные фронтальной плоскости проекций П2 (f є ABC, f //П2, f2 //Ох, f3 //Оz) (рисунок 6).
 |  |
| модель | эпюр |
| Рисунок 6 – Фронталь плоскости АВС | |
Профильные прямые р – прямые, лежащие в данной плоскости АВС и параллельные профильной плоскости проекций П3 (р є ABC, р //П3, р1 //Оу, р2 //Оz) (рисунок 7).
 |  |
| модель | эпюр |
| Рисунок 7 – Профильная прямая плоскости АВС | |
2.2 Определение углов наклона плоскостей общего положения
к плоскостям проекций
Прямые, принадлежащие заданной плоскости и образующие с плоскостью проекций наибольший угол, называются линиями наибольшего наклона данной плоскости к плоскости проекций. С помощью линий наибольшего наклона определяют величину двугранного угла между заданной плоскостью и соответствующей плоскостью проекций. Линии наибольшего наклона перпендикулярны линиям уровня. Линия наибольшего наклона и ее проекция образуют линейный угол, которым измеряется двугранный угол, составленный данной плоскостью и соответствующей плоскостью проекций (рисунок 8).
 |  |
| Рисунок 8 – Определение величины угла наклона плоскости общего положения к горизонтальной плоскости проекций | |
Задача 2.1
Определить величину угла наклона плоскости АВС к горизонтальной плоскости проекций П1.
Дано: координаты точек А, В, С.
План решения:
этап 1 – построение линии наибольшего наклона;
этап 2 – нахождение натуральной величины линии наибольшего наклона и соответственно угла наклона.
Построения:
Этап 1. Для построения линии наибольшего наклона к горизонтальной плоскости проекций П1 строим в плоскости АВС горизонталь h (А212//х; А111). В горизонтальной плоскости проекций П1 проводим линию наибольшего наклона С121 перпендикулярно горизонтальной проекции горизонтали h1 ( А111) (рисунок 9).
 |
| Рисунок 9 – Определение величины угла наклона плоскости АВС к горизонтальной плоскости проекций П1 |
Этап 2. Для нахождения натуральной величины линии наибольшего наклона используем метод прямоугольного треугольника. На горизонтальной проекции С121 линии наибольшего наклона строим прямоугольный треугольник (см. рисунок 9), одним катетом которого является проекция С121, а вторым катетом – отрезок ΔΖ, равный разности расстояний от точек С и 2 до горизонтальной плоскости проекций П1.
Гипотенуза треугольника С021равна натуральной величине линии наибольшего наклона, а угол α (С121С0), заключенный между горизонтальной проекцией линии наибольшего наклона и ее натуральной величиной, является натуральной величиной угла наклона плоскости АВС к горизонтальной плоскости проекций П1 (см. рисунок 9).
Задача 2.2
Определить величину угла наклона плоскости АВС к фронтальной плоскости проекций П2.
Дано: координаты точек А, В, С.
План решения:
этап 1 – построение линии наибольшего наклона;
этап 2 – нахождение натуральной величины линии наибольшего наклона и соответственно угла наклона.
Построения:
Этап 1. Для построения линии наибольшего наклона к фронтальной плоскости проекций П2 строим в плоскости АВС фронталь f (В111; В212//х). Во фронтальной плоскости проекций П2 проводим линию наибольшего наклона С222 перпендикулярно фронтальной проекции фронтали f2 (В212) (рисунок 10).
 |
| Рисунок 10 – Определение величины угла наклона плоскости АВС к фронтальной плоскости проекций П2 |
Этап 2. Для нахождения натуральной величины линии наибольшего наклона используем метод прямоугольного треугольника. На фронтальной проекции С222 линии наибольшего наклона строим прямоугольный треугольник (см. рисунок 10), одним катетом которого является проекция С222, вторым катетом – отрезок ΔY равный разности расстояний от точек С и 2 до фронтальной плоскости проекций П2.
Гипотенуза треугольника С022равна натуральной величине линии наибольшего наклона, а угол β (С222С0), заключенный между фронтальной проекцией линии наибольшего наклона и ее натуральной величиной, является натуральной величиной угла наклона плоскости АВС к фронтальной плоскости проекций П2 (см. рисунок 10).
Задача 2.3
Определить величину угла наклона плоскости АВС к профильной плоскости проекций П3.
Дано: координаты точек А, В, С.
План решения:
этап 1 – построение линии наибольшего наклона;
этап 2 – нахождение натуральной величины линии наибольшего наклона и соответственно угла наклона.
Построения:
Этап 1. Для построения линии наибольшего наклона к профильной плоскости проекций П3 строим профильную прямую p (C212 // z ; С313). В профильной плоскости проекций П3 проводим линию наибольшего наклона А323 перпендикулярно профильной проекции профильной прямой p3 (С313) (рисунок 11).
 |
| Рисунок 11 – Определение величины угла наклона плоскости АВС к профильной плоскости проекций П3 |
Этап 2. Для нахождения натуральной величины линии наибольшего наклона используем метод прямоугольного треугольника. На профильной проекции А323 линии наибольшего наклона строим прямоугольный треугольник (см. рисунок 11), одним катетом которого является проекция А323, вторым катетом – ΔХ отрезок, равный разности расстояний точек от А и 2 до профильной плоскости проекций П3.