Учебно-методическое пособие для студентов физико-математического факультета педвуза и школьных учителей физики. Елабуга: изд-во Елабужского гос пед ун-та, 2004- 43 с. Елабужский государственный педаго (стр. 3 из 11)

2.3. В сосуде вместимостью 2,24 л при нормальных условиях находится кислород. Определить количество вещества и массу кислорода, а также концентрацию его молекул в сосуде.

2.4. В колбе вместимостью 100 см³ содержится некоторый газ при температуре 300 К.. На сколько понизится давление в колбе, если вследствие утечки из колбы выйдет 10²⁰ молекул?

2.5. Концентрация молекул неизвестного газа при нормальных условиях равна 2,7.10^-25 м^-3. Этот же газ при температуре 91⁰С и давлении 800 кПа имеет плотность 5,4 кг/м³. Найти массу молекулы этого газа.

2.6. Определить среднюю кинетическую энергию поступательного движения и среднее значение полной кинетической энергии молекул водяного пара при температуре 600 К. Найти также кинетическую энергию поступательного движения всех молекул пара, содержащего количество вещества 1 кмоль.

2.7. Определить среднее значение полной кинетической энергии одной молекулы гелия, кислорода и водяного пара при температуре 400 К.

2.8. Определить среднюю кинетическую энергию вращательного движения молекул водорода, содержащихся в 1 моле при 18^оС.

2.9. Найти среднюю кинетическую энергию вращательного движения одной молекулы кислорода при температуре 286 К, а также кинетическую энергию вращательного движения всех молекул этого газа, если его масса 4 г.

2.10. Определить кинетическую энергию, приходящуюся в среднем на одну степень свободы молекулы азота, при температуре 1кК, а также среднюю кинетическую энергию поступательного движения, вращательного движения и средне значение полной кинетической энергии молекулы.

2.11. Колба вместимостью 8 л содержит некоторый газ массой 0,6 г под давлением 200 кПа. Определить среднюю квадратичную скорость молекул газа.

2.12. Найти концентрацию молекул кислорода, если давление его 0,2 МПа, а средняя квадратичная скорость молекул равна 700 м/с

2.13. В закрытом сосуде находится идеальный газ. На сколько процентов изменится давление газа, если средняя квадратичная скорость его молекул увеличится на 20%?

2.14. В сосуде объемом 2 л находится 10 г кислорода при давлении 90,6 кПа. Найти среднюю квадратичную скорость молекул газа, число молекул, находящихся в сосуде, и плотность газа.

2.15. Частицы гуммигута диаметром 1 мкм участвуют в броуновском движении. Плотность гуммигута 1000 кг/м³. Найти среднюю квадратичную скорость частиц гуммигута при температуре 0^оС.

2.16. Как изменится средняя квадратичная скорость молекул кислорода, находящегося в сосуде объемом 2,5 л при нормальных условиях, если газ расширяется до объема 5 л: а) изотермически; б) изобарически?

2.17. Во сколько раз средняя квадратичная скорость пылинки, взвешенной в воздухе, меньше средней квадратичной скорости молекул воздуха? Масса пылинки 10^-8г. Воздух считать однородным газом, молярная масса которого равна 29.10^-3 кг/моль.

2.18. В баллоне вместимостью 10 л находится газ, средняя кинетическая энергия всх молекул которого равна 7,5 кДж. Под каким давлением находится этот газ? Какова плотность этого газа, если скорость теплового движения его молекул равна 2400 м/с?

2.19 Вычислить наиболее вероятную, среднюю арифметическую и среднюю квадратичную скорости молекул воздуха при 20^оС.

2.20. Смесь гелия и аргона находится при температуре 1,2 кК. Определить среднюю квадратичную скорость и среднюю кинетическую энергию атомов гелия и аргона.

2.21. В сосуде объемом 3 дм³ находится гелий массой 4 мг, азот массой 70 мг и 5.10²¹ молекул водорода. Каково давление смеси, если температура ее 27^оС?

3. Распределение молекул по скоростям.

Барометрическая формула.

1. Число молекул, относительные скорости которых заключены в данном интервале DN=

.

Относительная скорость молекул u=u/u_в, где u_в =

– наиболее вероятная скорость.

2. Формула изменения концентрации молекул с высотой

, или .

Барометрическая формула (распределение давления в однородном поле силы тяжести):

, или

,

где р и р_о - давление, n и n_о - концентрация газа на высоте h и h₀=0, g - ускорение свободного падения, m - молярная масса газа, m_о - масса одной молекулы.

Примеры решения задач.

Задача 1. Найти число молекул водорода, заключенных в 1 м³ при нормальных условиях. Значения скоростей молекул лежат в интервале между 399 и 401 м/с.

Дано: V₁=1м³, р=10⁵Па; Т=273K, v₁=399м/c; v₂=401м/c

Найти: Dn =?

Решение. Искомое число молекул можно найти, исходя из распределения скоростей Максвелла: Dn=

. Для всех газов при нормальных условиях число молекул в 1 м³ одно и то же и равно 2,7.10²⁵ м^-3 (число Лошмидта).

Вычислим значения величин, входящих в формулу Максвелла:

u=u/u_в, u_в =

, u= (u₁+u₂)/2, Du=u₁ - u₂, Du= Du/u_в.

u=(399+401)/2=400 (м/с); Du=401–399=2(м/с);

u_в =(2.8,31.273/2)^1/2=1496 (м/с); u=400/1496»0,27; Du=2/1496=1,3.10^-3.

Dn=

=4,85.10²¹ (м^-3).

(Примечание: при вычислениях учесть разложение е ^{– х} » 1 – х, справедливое при х << 1).

Задача 2. При какой температуре число молекул кислорода, обладающих скоростями в интервале 399-401 м/с, равно числу молекул со скоростями в интервале 699-701 м/с?

Дано: u₁’=399 м/с; u₁”=401 м/с; u₂’=699 м/с; u₂”=701 м/с; DN₁=DN₂.

Найти: Т - ?

Решение. Уравнение Максвелла для распределения молекул по скоростям для обоих случаев имеет вид:

; ,

где u₁= u₁/u_в; Du₁/u_в; u₂= u₂/u_в; Du₂= Du₂/u_в. По условию задачи левые части уравнений равны:

.

Учитывая из условия, что Du₁=Du₂, после сокращения и перестановки имеем:

Логарифмируя это равенство, получим:

2lg(u_1/u₂) =

lg e, или, подставляя значения u, выраженные через u и u_в, и сокращая, получим: 2 lg(u₁/u₂)=( u₁²- u₂²) lge/u_в² .

Откуда u_в²=(u₁² – u₂²) lg e / 2 lg (u₁/u₂). Но, т.к. u_в²=2RT/m , то T=u_в²m/2R. Подставляя значение u_в² в последнюю формулу, имеем:

Т=

;

Задача 3. На какой высоте над уровнем моря атмосферное давление составляет 78 кПа, если температура воздуха 17^оС и не меняется с высотой, а давление на уровне моря нормальное? Найти число частиц в единице объема (концентрацию молекул) на этой высоте.

Дано: Т=290К, р=7,8.10⁴Па, р=1,013.10⁵Па, m=29.10^-3кг/моль.

Найти: h - ? n - ?

Решение. Если температура не меняется с высотой, то для нахождения давления можно воспользоваться барометрической формулой:

. Логарифмируя эту формулу, получим: lg(p/p_o)=–mgh lg e/RT. Отсюда находим h: h= –RT lg (p/p_o)/(mg lg e, ) h » 2165 (м);

а концентрация молекул на этой высоте: n=p/kT n» 1,98.10²⁵ (м^-3)

Задачи.

Распределение молекул по скоростям.

3.1. Какова наиболее вероятная скорость молекул метана и гелия при температуре 127^оС?

3.2. При какой температуре средняя квадратичная скорость молекул азота больше их наиболее вероятной на 50 м/с ?

3.3. Найти среднюю арифметическую, среднюю квадратичную и наиболее вероятную скорости молекул газа, который при давлении 40 кПа имеет плотность 0,3 кг/м³.

3.4. Какая часть молекул азота при температуре 150^оС обладает скоростями от 300 до 325 м/с?

3.5. Какая часть молекул кислорода обладает скоростями, отличающимися от наиболее вероятной не больше чем на 10 м/с при температурах 0^оС и 300^оС?

3.6. Какая часть молекул водорода при температуре 27^оС обладает скоростями, лежащими в интервале от 1995 до 2005 м/с ?

3.7. Найти отношение числа молекул водорода, скорости которых лежат в интервале от 1995 до 2005 м/с, к числу молекул, скорости которых лежат в интервале от 995 до 1005 м/с при температуре 27^оС.

3.8. В баллоне объемом 10^-2 м³ находится водород при температуре 273 К и давлении 10⁵ Па. Найдите число молекул водорода, скорости которых отличаются на 0,1 % от: а) наиболее вероятной скорости; б) средней квадратичной скорости. Каково относительное число этих молекул.