Молекулярная физика и термодинамика (стр. 4 из 13)
| Д а н о: m1 = 25 г m2 = 75 г mсм – ? |
Решение. Молярная масса смеси есть отношение массы смеси mсм к количеству вещества смеси, т.е.
mсм = mсм / nсм. (1)
Масса смеси равна сумме масс компонентов смеси:
mсм = m1 + m2,
количество вещества смеси
nсм = n1 + n2 = m1 / m1 + m2 / m2.
Подставив в формулу (1) выражения для mсм и nсм, получим
После вычислений найдем mсм = 30 × 10-3 кг/моль.
Пример 2. В баллоне вместимостью V = 10 л находится гелий под давлением р1 = 1 МПа и при температуре Т1 = 300 К. После того как из баллона было взято m = 10 г гелия, температура в баллоне понизилась до Т2 = 290 К. Определить давление р2 гелия, оставшегося в баллоне.
| Д а н о: V = 10 л р1= 1 МПа Т1 = 300 К Т2 = 290 К р2 – ? |
Решение. Для решения задачи воспользуемся уравнением Менделеева-Клапейрона, применив его к конечному состоянию газа:
где m2 – масса гелия в баллоне в конечном состоянии; m – молярная масса гелия; R – универсальная газовая постоянная.
Выразим искомое давление:
р2 = m2RT2 / (mV). (1)
Массу m2 гелия выразим через массу m1, соответствующую начальному состоянию газа, и массу гелия, взятого из баллона
m2 = m1 – m. (2)
Масса m1 гелия также находится из уравнения Менделеева-Клапейрона для начального состояния гелия
m1 = mp1V / (RT1). (3)
Подставив выражения масс (2) и (3) в (1), найдём
Проверим, даёт ли полученная формула единицу давления. Для этого в её правую часть вместо символов величин подставляем их единицы. В правой части формулы два слагаемых. Очевидно, что первое из них даёт единицу давления, т.к. первый сомножитель (Т2 / Т1) – безразмерный, а второй – давление. Проверим второе слагаемое:
Паскаль является единицей давления. Производим вычисления, учитывая, что m = 4×10-3кг/моль. Получим р2 = 0,364 МПа.
Пример 3. Найти среднюю кинетическую энергию движения одной молекулы кислорода при температуре Т = 350 К, а также кинетическую энергию движения всех молекул кислорода массой m = 4 г.
| Д а н о: m = 4 кг Т = 350 К <e> – ? Ек – ? |
Решение. На каждую степень свободы молекулы газа приходится одинаковая средняя энергия <ei> = = 1 / 2kT, где k – постоянная Больцмана, Т – термодинамическая температура газа. Поступательному движению двухатомной молекулы кислорода соответствуют три степени свободы, вращательному – две. Тогда средняя кинетическая энергия движения молекулы
<e> = 5 / 2 kT. (1)
Кинетическая энергия движения всех молекул газа
Ек = N <e>. (2)
Число всех молекул газа
N = nNA = NА m / m. (3)
Подставив выражение N в формулу (2), получаем
Ек= 5kTNА m /(2m) = 5RTm /(2m). (4)
Произведём вычисления, учитывая, что для кислорода m = 32×10-3 кг/моль:
<e> = 1,21×10-20 Дж; Ек = 910 Дж.
Пример 4. Используя функцию распределения молекул идеального газа по относительным скоростям, определить число молекул, скорости которых меньше 0,002 наиболее вероятной скорости, если в объёме газа содержится N = 1,67×1024 молекул.
| Д а н о: vm = 0,002 vвN = 1,67×1024 DN – ? |
Решение. Число dN(u) молекул, относительные скорости которых заключены в пределах от u до u + du,
где N – число молекул в объёме газа.
По условию задач vm = 0,002 vв, следовательно, umax = vmax / vв = 0,002, Так как u << 1, то exp(-u2) » 1 – u2. Пренебрегая u2 << 1, выражение для dN(u) можно записать в виде
Проинтегрировав данное выражение по u в пределах от 0 до umax, найдём
Вычисляя, получаем DN = 1016 молекул.
Пример 5. Вычислить удельные теплоёмкости при постоянном объеме и постоянном давлении неона и водорода, принимая эти газы за идеальные. Рассчитать также удельные теплоемкости смеси указанных газов, если массовые доли неона и кислорода составляют 80 и 20 % соответственно.
| Д а н о: m1 = 20×10-3 кг/моль m2 = 2×10-3 кг/моль. m1 = 2,5 кг m2 = 1,5 кг v1 = 6 м/с v2 = 2 м/с cv1 – ? сv2 – ? ср1 – ? ср2 – ? cv– ? ср– ? |
Решение. Удельные теплоёмкости идеальных газов определяются по формулам
Для неона (одноатомный газ) число степеней свободы i = 3 и m1 = 20 × 10-3 кг/моль. Поэтому
сv1 = 3 × 8,31 / (2 × 20 × 10-3) = 624 Дж/(кг×К), сp1 = 1040 Дж /(кг × К).
Для водорода (двухатомный газ) i = 5 и m2 = 2×10-3 кг/моль.
cv2 = 1,04 × 104 Дж /(кг × К), ср2 = 1,46 × 104 Дж /(кг × К).
Удельную теплоёмкость смеси при постоянном объёме сv найдём следующим образом. Теплоту, необходимую для нагревания смеси на DТ, выразим двумя способами:
Q = cv (m1 + m2) DТ, (1)
Q = (cv,1m1 + cv,2 m2)DT. (2)
Приравнивая правые части (1) и (2) и разделив обе части полученного равенства на DТ, получим
сv(m1 + m2) = cv,1m1 + cv,2m2.
Отсюда 
или сv = cv,1w1 + cv,2w2,
где w1 = m1 / (m1 + m2) и w2 = m2 / (m1 + m2).
Рассуждая так же, получим формулу для вычисления удельной теплоёмкости смеси при постоянном давлении
ср = cр,1w1 + cр,2w2.
Произведём вычисления:
сv = (6,24 × 102 × 0,8 + 1,04 × 104 × 0,2) = 2580 Дж/(кг×К);
ср = (1,04 × 102 × 0,8 + 1,46 × 104 × 0,2) = 3752 Дж/(кг×К).
Пример 6. Некоторая масса кислорода при давлении р1 = 105 Па занимает объем V1 =10 л. Газ был нагрет сначала при постоянном давлении до объема V2 = 30 л, а затем при постоянном объеме до давления р2= = 0,5 МПа. Найти изменение внутренней энергии газа DU1a2, совершенную им работу А1а2 и количество поглощенной газом теплоты Q1а2. Произвести аналогичные расчёты в случае обратного следования процессов: сначала по изохоре, потом по изобаре (рисунок 1 кривая 1в2). Сравнить результаты расчётов в обоих случаях.
| Д а н о: р1 = 105 Па V1 =10 л V2 = 30 л р2= 0,5 МПа DU1a2- ? А1а2 -? Q1а2 -? DU1 b2- ? А1 b2 -? Q1 b2 -? |
Решение. Физическую систему составляет идеальный газ – кислород. Внутренняя энергия является функцией состояния системы. Поэтому изменение внутренней энергии при переходе из одного состояния в другое всегда равно разности значений внутренней энергии в этих состояниях и не зависит от совокупности процессов, приведших к такому переходу системы:
Здесь температура газа в начальном и конечном состояниях была выражена из уравнения Менделеева-Клапейрона.
Работа, совершённая газом в рассматриваемом случае,
А1а2 = А1а + Аа2.
При изобарном процессе А1а = р1(V2 – V1), при изохорном Аа2 = 0. С учётом этого
А1а2 = р1(V2 – V1).
В соответствии с первым законом термодинамики
Q1a2 = DU1a2 + A1a2 = i ( 2V2 – p1V1) / 2 + р1(V2 – V1).