Методика преподавания тема: Кирилина Лидия Ивановна 2008 (стр. 2 из 4)

Историю с натягиванием веревки продолжают еще несколько древних терминов: катет – значит «отвес», гипотенуза – «натянутая», другой катет прямоугольного треугольника не назывался катетом (т.е. отвесом), о нем говорили как об основании.

По натянутой веревке (другими словами, по гипотенузе) можно проводить стачивание боковой грани строящейся пирамиды.

Теперь мы подошли к главному вопросу: «Как объяснить строителям, по какому углу стачивать грань пирамиды?» ( В Древнем Египте пирамиду выкладывали из грубых крупных камней, и надо было их отшлифовать или иным образом подкорректировать.) Один из способов: задать отношение высоты пирамиды к апофеме, или, если говорить о плоскости, задать отношение катета – отвеса к гипотенузе. Вот и получается прообраз косинуса угла стачивания. А когда задавались другие отношения – отношение катета – основания к катету – отвесу или отношение катета – основания к гипотенузе – это были прообразы понятий тангенса и синуса угла.

Теперь мы понимаем: рассматривать отношение длин сторон прямоугольного треугольника очень удобно, так как для всех подобных прямоугольных треугольников эти отношения сохраняются ( все правильно, как потом узнают учащиеся, у подобных треугольников углы равны, а, значит, равны и тригонометрические функции углов.

Судя по всему, на идею подобных фигур люди обратили внимание достаточно давно. Одинаковые по форме, но различные по величине фигуры встречаются в вавилонских и египетских памятниках. В сохранившееся

погребальной камере отца фараона Рамеса II имеется стена, покрытая сетью квадратиков, с помощью которой на стену перенесены в увеличенном виде рисунки меньших размеров (своего рода «палетка»).

До этого момента рассматривалась самая глубинная предыстория зарождения тригонометрических знаний, но именно она отразилась в самом слове тригонометрия, которое буквально означает измерение треугольников.

Действительно, термин тригонометрия состоит из двух греческих слов: тригоном, что означает «треугольник» и метрейн, что означает «измерять». Кроме того, данный первичный исторический рассказ помогает объединить в сознании учащихся такие темы, как знакомство с прямоугольным треугольником, теорема Пифагора, тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике. И главное, у учащихся возникает желание посмотреть на эти темы как с исторической, та и с современной точки зрения,

т. е. повышается интерес к изучению геометрии.

Теперь учитель может перейти к моменту, когда он обратится непосредственно к истории тригонометрии, которые можно изложить в курсе планиметрии.

1.3. История появления и развития тригонометрии.

Тригонометрия, как и всякая наука, вырастала из потребностей человеческой практики, но эти потребности не ограничивались, как мы уже упоминали выше, только лишь потребностями строительства или нахождения расстояний до недоступных объектов. Задачи мореплавания, требовавшие по звёздам определять правильный курс корабля, задачи определения по звёздам пути при движении караванов в пустыне, задачи земледелия, требовавшие введения точного календаря, и многие другие обусловили развитие астрономии, а с ней и тригонометрии. Причём сферическая тригонометрия развивалась наряду с плоской.

По сути, тригонометрия появилась в древности как один из разделов астрономии. Дело в том, что преобладающей гипотезой о строении

Вселенной была геоцентрическая, согласно которой Земля есть шар, расположенный в центре небесной сферы, которая равномерно вращается вокруг своей оси. Светила считаются расположенными на этой сфере. При изучении их движения большое значение приобретают задачи о расположении точек и фигур на сфере. Работы, в которых подобные задачи решаются, получили название сферики. Плоская тригонометрия при таких условиях отнюдь не играла лишь второстепенную роль по сравнению со сферической тригонометрией. У неё была своя область приложений: помимо решения задач на определение расстояний до недоступных объектов, она являлась частью практической астрономии – фигуры на сфере проектировались на плоскость горизонта, меридиана и т.д., и таким образом многие задачи сводились к плоским случаям.

Отдельные вопросы из тригонометрии уже успешно решали древнегреческие астрономы, однако они рассматривали хорды, а не синусы, косинусы и другие, как говорили в древности, линии. Если говорить точнее, то греческие астрономы рассматривали, по сути, только синус, вместо которого использовали хорду, равную удвоенной линии синуса половинной дуги.

Начало учению о тригонометрических величинах было положено в Индии, начиная с IV – VI вв. Индийские учёные впервые в науке стали употреблять линию синуса как половину хорды, и составили первые тригонометрические таблицы синусов (полухорд). Им были известны также основное тригонометрическое тождество, формулы приведения, формулы синуса половинного угла.

В IX – X вв. центр математических исследований, значит и центр развития тригонометрического знания, переместился в Среднюю Азию, где трудами арабских математиков тригонометрия впервые выделилась из астрономии

как самостоятельная наука. В частности, учёные стран ислама ввели новые тригонометрические величины: тангенс и котангенс. В трактате «Плоские четырёхугольники» учёного – энциклопедиста и государственного деятеля XIII в. Насирэддина Туси плоская и сферическая тригонометрия выступают как самостоятельные предметы. Для сравнения, в Европе тригонометрия достигла этого уровня, стала успешно развиваться и трактоваться как самостоятельная наука лишь в XV в., и начало этому было положено трудами немецкого астронома и математика, профессора Региомонтана.

1.4 Геометрия в древних практических задачах.

Использование египетского треугольника древними строителями.

В строительстве очень важно знать площадь участка, отведённого на застройку. Для измерения площади древние египтяне использовали особый треугольник, у которого были фиксированные длины сторон. Занимались измерениями особые специалисты, которые назывались «натягивателями каната» (гарпедонаптай). Они брали длинную верёвку, делили её на 12 равных частей узелками или какими – то другими метками, а концы верёвки связывали. На направлении север – юг они устанавливали два кола на расстоянии четырёх частей, отмеченных на верёвке. Затем при помощи третьего кола натягивали связанную верёвку так, чтобы образовался треугольник, у которого одна сторона имела три части, другая – четыре, а третья пять частей. Получался прямоугольный треугольник, площадь которого могла быть принята за эталон, если ремесленники пользовались верёвкой всегда одной и той же строго определённой длины. При этом одна сторона, имеющая три части, указывала восточно-западное направление.

Вряд ли египетские строители осознавали, что их метод нуждается в каком – либо обосновании. Но мы теперь знаем, что он основан на доказанной гораздо позже теореме, служащей обратной теореме Пифагора. А эта теорема «открыта» Пифагором через много веков после того, как ею научился пользоваться обыкновенный древнеегипетский мастеровой.

Определение недоступных расстояний.

История геометрии хранит немало приёмов решения задач на нахождение расстояний. Определение расстояний до кораблей, находящихся в море, - одна из таких задач. Предполагают, что оба способа её решения принадлежат древнегреческому учёному, путешественнику и купцу Фалесу Милетскому (VI в. до н.э.).

Первый из них основан на одном из признаков равенства треугольников. Второй способ, в дальнейшем получивший название метода триангуляции, нашёл применение в астрономии. С его помощью измерялись расстояния до

небесных тел.

Древнекитайский приём измерения высоты недоступного предмета.

Огромный вклад в развитие прикладной геометрии внёс крупнейший китайский математик III в. Лю Хуэй. Ему принадлежит трактат «Математика морского острова», в котором приведены решения различных задач на определение расстояний до предметов, расположенных на отдалённом острове, и вычисление недоступных высот. Задачи Лю Хуэя довольно сложны. Решение своих задач он обычно давал в виде правил. Ввиду практической ценности эти задачи получили широкое распространение не только в Китае, но и за его пределами. Приведём задачу из трактата Лю Хуэя.

Наблюдают морской остров.

Для этого установили пару шестов одинаковой высоты в 3 чжана (1 чжан = 5/3 бу) на расстоянии 1000 бу. Основания обоих шестов находятся на одной прямой с островом. Если отойти по прямой от первого шеста на 123 бу, то глаз человека, лежащего на земле, будет наблюдать верхний конец шеста совпадающим с вершиной острова. Такая же картина получится, если отойти от второго шеста на 127 бу. Спрашивается, какова высота острова и его расстояние от первого шеста. Решение: « Взяв высоту шеста, умножь её на расстояние между шестами, это делимое.

Разность между отступлениями будет делителем, раздели на неё. К тому, что получится, прибавь высоту шеста, получится высота острова. Чтобы найти расстояние от предыдущего шеста до острова, надо (отступление) от

предыдущего шеста умножить на расстояние между шестами, это делимое. Разность между отходами будет делителем, раздели на неё, получишь расстояние, на которое остров удалён от шеста».

Измерение площади прямоугольного участка.