Тема: «Решение задач с параметрами» (стр. 2 из 4)

Если 3а-1=0, т.е. а=

, то уравнение примет вид 2х

0=0, его решением является любое число.

Ответ: уравнение имеет бесконечное множество решений при а=

Пример 4. При каких значениях параметра а уравнение не имеет решений?

=2а.

Приведем данное уравнение к виду х(5+2а)=4а-8.

Если 5+2а

0,т.е. а

, то х=

Если 5+2а =0,т.е. а =-

, то уравнение примет вид х

0=-18, это уравнение не имеет решений.

Ответ. уравнение не имеет решений при а =-

1.2. Квадратные уравнения, содержащие параметр.

Уравнение вида ах²+вх+с=0, где а,в,с –некоторые числа (а

0), х-переменная, называется квадратным уравнением.

Для решения квадратного уравнения следует вычислить дискриминант

D= b²-4ac.

Если D=0, то квадратное уравнение имеет единственный корень:

х=-

(или два, но сливающихся корня х₁=х₂).

Если D>0, то квадратное уравнение имеет два корня:

х₁=

; х₂=

Если D<0, то квадратное уравнение не имеет корней.

Если один из коэффициентов в или с равен нулю, то квадратное уравнение можно решать, не вычисляя дискриминанта:

1. в=0, с

<0, то х_1,2=

2. в

0, с=0, то х₁=0, х₂=-

Следующие теоремы также помогают при решении квадратных уравнений с параметрами.

Теорема Виета (прямая) утверждает: если х₁ и х₂ являются корнями квадратного уравнения ах²+вх+с=0, то выполняются соотношения:

х₁+х₂=-

и х₁

х₂=

Обратная теорема утверждает: если для некоторых постоянных а, в, с существуют числа х₁ и х₂, удовлетворяющие соотношениям

х₁+х₂=-

и х₁

х₂=

, то эти числа х₁ и х₂ являются корнями уравнения ах²+вх+с=0.

Пример 5. Решить относительно х:

ах²-2х+4=0

Если а=0, тогда уравнение примет вид -2х+4=0, отсюда х=2.

Если а

0, то D=4-16а.

Если 4-16а≥0, т.е а≤

, х_1,2=

Если 4-16а<0, т.е. а>

, то уравнение не имеет решений.

Ответ: если а=0, то х=2;

если а

0 и а≤

, то уравнение имеет два решения х_1,2=

если а

0 и а>

, то уравнение не имеет решений.

Пример 6. При каких значениях а уравнение ах²-х+3=0 имеет единственное решение?

Если а=0, тогда уравнение примет вид –х+3=0, отсюда х=3.

Если а

0, то D=1-12а.

Уравнение будет иметь единственное решение при D=0.

1-12а=0, отсюда а=

Ответ: уравнение имеет единственное решение при а=0 или а=

Пример 7. При каких значениях а уравнение ах²+4х+а+3=0 имеет более одного корня?

Если а=0, то уравнение примет вид 4х+3=0, которое имеет единственный корень, что не удовлетворяет условию задачи.

Если а

0, то D=16-4а²-12а.

Уравнение имеет более одного корня при D>0.

16-4а²-12а>0.

Рассмотрим функцию у=16-4а²-12а.

Найдем нули этой функции, решая уравнение 16-4а²-12а=0.

а₁=-4; а₂=1.

Функция принимает положительные значения, если -4<а<1.

Ответ: уравнение имеет более одного корня, если -4<а<0 и 0<а<1.

Пример 8. Найти коэффициент а, если корни уравнения х²-2х+а=0.

связаны соотношением 2х₁+х₂=3.

х²-2х+а=0.

По теореме Виета х₁+х₂=а и х₁

х₂=2.

Составляю систему:

Решая эту систему, получаю, что х₁=1, х₂=1.

Тогда а=1.

Ответ: а=1.

1.3. Системы линейных уравнений с параметром.

Системы линейных уравнений вида

1) имеют единственное решение, если

;

2) не имеют решений, если

;

3) имеют бесконечное множество решений, если

Пример 9. Найти все значения параметра а, при котором система имеет бесконечное множество решений:

Система имеет бесконечное множество решений, если выполняется условие:

;

ОДЗ: а

0, а

-3.