Учебно-методическое пособие по специальным разделам высшей математики Самара 200 (стр. 1 из 7)

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «Самарский государственный Технический университет»

К а ф е д р а «Высшая математика и

прикладная информатика»

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

Учебно-методическое пособие

по специальным разделам высшей математики

Самара 2008

УДК 519.21

Теория вероятностей и математическая статистика. Учебно-метод. пособ. по спец. главам высш. матем./ Самар. гос. техн. ун-т. Сост. В.Н. Гревцева, Л.В. Лиманова, Л.А. Муратова. Самара, 2008. 22 с.

Представлены задачи и их решения из следующих разделов курса высшей математики: теория вероятностей и математическая статистика. Пособие содержит тренировочные задания.

Предназначено для студентов всех специальностей СамГТУ.

Ил. . Библиогр.: 9 назв.

Печатается по решению редакционно-издательского совета СамГТУ

Пособие состоит из двух разделов: теории вероятностей и математической статистики. В каждом разделе даны подробные решения типовых задач, условия задач определяются программой курса высшей математики для IV семестра СамГТУ.

Раздел «Теория вероятностей» представлен задачами по темам: алгебра событий, классическое определение вероятности, формула полной вероятности, формула Бейеса, дискретная случайная величина и ее распределения, непрерывная случайная величина и ее распределения, предельные теоремы.

В разделе «Математическая статистика» рассматриваются задачи по темам: метод моментов для точечной оценки параметров распределения, определение доверительного интервала, проверка гипотезы о виде распределения, элементы теории корреляции.

Пособие содержит тренировочный тест (стр.16) с типовыми задачами по указанным темам.

Используемые для решения формулы обозначены в круглых скобках и приведены в конце пособия.

Основное назначение пособия – помочь студенту при изучении данного материала и подготовке к экзамену по высшей математике.

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Задача 1. Прибор содержит 3 элемента с вероятностями отказа 0,1;0,4 и 0,2. Найти вероятности отказа а) одного элемента; б) двух или трех элементов; в) хотя бы одного элемента.

Решение. Обозначим

- cобытие, означающее отказ - го элемента, - отказ одного элемента, - отказ двух или трех элементов, - отказ хотя бы одного элемента. Тогда для случая а) запишем

,

где

- событие, означающее безотказную работу элемента . Слагаемые этой суммы – несовместные события. Поэтому, согласно формуле для несовместных событий,

Сомножители в последнем выражении – независимые события, значит, в соответствии с формулой для независимых событий

.

Поскольку

(формула ), получаем

.

В случае б) имеем

.

Как и в случае а) справедливы следующие соотношения:

.

В случае в) искомое событие

, причем слагаемые – совместные события, и для вычисления вероятности нужно использовать формулу для произвольных событий, но можно решить задачу проще, используя противоположное событие и формулу .

Так как

означает отказ одного или двух или трех элементов, то - событие, дополняющее до полной группы – означает безотказную работу всех трех элементов.

Поскольку

и события , , независимы, получаем

.

Задача 2. В урне 10 белых и 5 черных шаров. Из урны извлекают два шара. Найти вероятность того, что шары а) белые; б) одного цвета; в) разного цвета.

Решение. Пусть событие

означает извлечение белого шара, - извлечение черного шара и пусть индекс есть номер извлечения.

Тогда в случае а) искомое событие имеет вид

(первый шар – белый и второй шар – белый). Поскольку и зависимы, используем формулу вероятности произведения для произвольных событий:

.

находим согласно классическому определению вероятности :

,

где

- общее число случаев, - число случаев, благоприятных событию . Так как среди 15 шаров 10 белых, получаем .

есть условная вероятность события (второй шар – белый) при условии, что (первый шар – белый) произошло. Но если первым взят белый шар, то среди 14 оставшихся шаров белых – 9, поэтому .

Получаем:

.

В случае б) искомое событие есть

( оба шара белые или оба шара черные), причем слагаемые несовместны, а сомножители зависимы. Тогда вероятность согласно формулам , равна:

.

В случае в) будем находить вероятность события

( первый шар белый, второй - черный или наоборот, первый – черный, а второй – белый).

Получим в соответствии с формулами

,