Учебно-методическое пособие по специальным разделам высшей математики Самара 200 (стр. 3 из 7)
Решение. Испытания независимы, а вероятности одинаковы, значит, случайная величина распределена по биномиальному закону (9); для него
, 
.Так как
, 
, то 
. Кроме того 
. Тогда 
Задача 9. Найти вероятность того, что при 8 подбрасываниях монеты герб появится ровно 3 раза.
Решение. Это биноминальное распределение, так как вероятность появления герба при каждом подбрасывании постоянна (равна 0,5). Тогда вероятность появления события
в 
испытаниях ровно 
раз можно найти по формуле 
: 
,где
- число сочетаний из элементов по 
элементов (формула 
), 
.Так как
, 
, получим 
.Задача 10. Устройство содержит 2000 одинаковых элементов с вероятностью отказа для каждого за время
, равной 0,001. Найти вероятность того, что за время 
откажут а) меньше трех элементов; б) не меньше одного элемента.Решение. Это биномиальное распределение, но поскольку число элементов велико, а вероятность отказа каждого мала, можно применить формулу Пуассона
: 
, 
.Так как
, 
, то 
.а) Искомая величина есть
.б) Используя вероятность противоположного события, получим
.Задача 11. Непрерывная случайная величина задана функцией
. Найти 
.Решение. Найдем сначала плотность распределения
(формула (11)): 
.Применяя формулы (14), (15) и (17), получим
; 
; 
. Задача 12. Непрерывная случайная величина задана плотностью распределения
Найти 
.Решение. Согласно формуле (12) имеем
.Отсюда найдем константу А:
, 
, 
.Применяя формулу (13):
,получим
. Задача 13. Непрерывная случайная величина распределена по показательному закону с плотностью
Найти
, 
, 
.Решение. Задачу можно решать с помощью формул (13) - (15), но проще воспользоваться формулами для показательного распределения (18):
Тогда
Задача 14. Непрерывная случайная величина X распределена равномерно на отрезке
. Найти 
, , 
.Решение. Равномерное распределение подчиняется формулам (19):
; 
.Найдем плотность распределения:
= 
Тогда согласно (13)
,поэтому
Задача 15. Детали, выпускаемые цехом, по размеру диаметра распределяются по нормальному закону с параметрами
и 
. Деталь считается годной, если ее диаметр не менее 1,9 см и не более 4 см. Определить процент брака.Решение. Если случайная величина распределена по нормальному закону, то вероятность попадания её на интервал
определяется формулой 
: 
,где
- математическое ожидание, 
- среднее квадратическое отклонение, 
- функция Лапласа 
, значения которой находят по таблице приложений 
.Подставляя в эту формулу заданные значения, получаем (с учетом нечетности функции
): 
.Тогда процент годных деталей равен 81,85; соответственно брак составит 18,15%.
Задача 16. Случайные ошибки взвешивания распределены нормально с параметрами
и 
. Найти вероятность того, что взвешивание будет произведено с ошибкой, не превосходящей по абсолютной величине 
.