Учебно-методическое пособие по специальным разделам высшей математики Самара 200 (стр. 2 из 7)

.

Задача 3. Среди 14 билетов 4 выигрышных. Найти вероятность того, что из 6 купленных билетов ровно 2 выигрышных.

Решение. Можно использовать способ решения, рассмотренный в задаче 2 (искомое событие запишется в виде суммы 15 слагаемых). Поступим иначе и решим задачу с помощью классического определения вероятности события

(формула (4)):

,

где

- общее число случаев, - число случаев, благоприятных событию .

Из 14 билетов 6 штук можно выбрать

способами. Здесь - число сочетаний из 14 элементов по 6 элементов. Значит, . Два выигрышных билета могут быть выбраны из 4 билетов способами. Остальные (4 билета) должны быть невыигрышными, их можно выбрать из 10 невыигрышных способами.

Так как на один способ выбора двух выигрышных билетов приходится

способов выбора невыигрышных билетов, то на способов выбора двух выигрышных билетов приходится способов выбора невыигрышных билетов.

Итак,

. Тогда .

Число сочетаний из

элементов по элементов находим по формуле :

.

При этом получим:

.

Задача 4. В первой урне 20 шаров, среди них 3 белых, во второй урне 15 шаров и среди них 2 белых. Из первой урны взяли шар и переложили во вторую. Какова вероятность, что шар, взятый после этого из второй урны, белый?

Решение. Пусть событие

- извлечение белого шара из второй урны. Возможны две гипотезы: - из первой урны взяли белый шар, - из первой урны взяли шар другого цвета.

По формуле полной вероятности вероятность события

с учетом двух гипотез равна :

.

Вероятности гипотез составляют

, .

Найдем условные вероятности. Если из первой урны взяли белый шар и переложили во вторую, то во второй урне стало 16 шаров, среди которых 3 белых. Поэтому

. Если же из первой урны взяли шар другого цвета и переложили во вторую, то во второй урне стало 16 шаров, но число белых шаров (их 2) не изменилось и, значит, .

Подставив полученные значения в формулу полной вероятности, найдем

:

.

Задача 5. Один завод производит в 3 раза меньше приборов, чем второй. Вероятность безотказной работы прибора первого завода – 0,9, второго – 0,7. случайным образом выбранный прибор отказал. Какова вероятность, что он сделан на втором заводе?

Решение. Обозначим

- событие, состоящее в том, что выбранный прибор отказал. Возможны две гипотезы: - прибор сделан на первом заводе, - на втором.

Задача решается по формуле Бейеса, так как событие – прибор отказал – произошло. Запишем формулу Бейеса

для случая двух гипотез:

.

Найдем вероятности гипотез

и до опыта. На один прибор первого завода приходится 3 прибора второго завода, значит доля первого завода , второго .

Найдем условные вероятности. Вероятность отказа прибора при условии, что он изготовлен на первом заводе, равна

. Если же прибор сделан на втором заводе, то вероятность отказа .

Осталось найти вероятность гипотезы

после опыта ( то есть при условии, что произошло):

.

Задача 6. Дискретная случайная величина Х задана законом распределения.

X	2
P	0,3

Найти

, если .

Решение. Так как

, то . Математическое ожидание и дисперсия для дискретных случайных величин определяются по формулам (8). То есть , тогда

, откуда .

Далее

.

Задача 7. Дискретная случайная величина задана законом распределения

X	-1	4
P

Найти

, , если .

Решение. Используя формулу

для математического ожидания дискретной случайной величины, согласно которой , имеем . Кроме того, . Решая получившуюся систему уравнений

находим , .

Задача 8. Найти дисперсию случайной величины Х - числа появлений события А в 10 независимых испытаниях, если вероятности появления события в каждом испытании одинаковы, а

.