Методические рекомендации по выполнению лабораторных работ и расчетного задания по курсу «Основы автоматического управления» (стр. 2 из 6)

МЕТОДОМ НЕЛИНЕЙНЫХ ОЦЕНОК

Переходные функции любых динамических объектов имеют вид инерционного или колебательного процессов. Это позволяет математически описать их как звенья 2-го порядка. Поэтому задача идентификации для них формулируется следующим образом: определить параметры (собственную частоту

и коэффициент затухания ) системы 2-го порядка, к которой может быть «сведено» описание заданного объекта по схожести переходного процесса. Под «схожестью» обычно понимают минимум интеграла (или суммы в дискретных точках) от квадрата разности переходных функций объекта и модели.

1.1 Дифференциальное уравнение объекта

Поскольку звено 2-го порядка может иметь, в зависимости от

значений параметров, переходную функцию колебательного или инерционного типа, сложный объект возможно представить как последовательное соединение типовых звеньев 1-го и 2-го порядков. Для примера рассмотрим звено 3-го порядка, передаточная функция которого имеет следующий вид:

где

– собственная частота колебаний;

– коэффициент затухания;

– переменная Лапласа;

– постоянная времени объекта.

Характеристическое уравнение объекта запишется в виде:

или

где

Передаточная функция в этом случае перепишется как:

Учитывая, что

, для объекта 3-го порядка справедливо соотношение:

После перехода из области изображений в область оригиналов получим дифференциальное уравнение, описывающее поведение объекта:

(1)

где

– выходной сигнал объекта;

– входной сигнал объекта (внешнее воздействие).

Поделим обе части уравнения (1) на коэффициент

и введем новые обозначения:

Тогда уравнение (1) перепишется в виде:

(2)

Результаты решения уравнения (2) при заданном внешнем воздействии в виде единичной ступенчатой функции

являются аналогом экспериментальных данных при изучении переходной функции объекта 3-го порядка. При

процесс является инерционным, а при – колебательным. Длительность переходного процесса определяется значениями параметров

1.2 Численный метод решения дифференциального

уравнения (метод Эйлера)

С целью численного решения уравнения (2) понизим его порядок. Для этого введем следующие обозначения:

В результате дифференциальное уравнение 3-го порядка представится в виде системы трех дифференциальных уравнений 1-го порядка:

(3)

Система уравнений (3) при нулевых начальных условиях

и заданном шаге интегрировании

может быть решена с использованием метода Эйлера по следующему алгоритму:

(4)

1.3 Идентификация объекта

1.3.1 Дифференциальное уравнение модели

Решение уравнения 2-го порядка, описываемого дифференциальным уравнением

(5)

при входном воздействии

хорошо известно и имеет вид:

где

Для численного решения уравнения (5) представим его в виде системы двух уравнений 1-го порядка, используя обозначения

:

(6)

1.3.2 Метод нелинейных оценок (МНО)

В общем виде решения системы уравнений (6) являются функциями

и могут быть разложены в ряд Тейлора по поправкам . Рассмотрим их разложение в линейном приближении:

Введем коэффициенты чувствительности, определяющие зависимость изменения функций

от изменения коэффициентов :

(7)

Непосредственно рассчитать коэффициенты чувствительности по соотношениям (7) не представляется возможным, поскольку зависимость

от коэффициентов является неявной. Однако можно найти выражения для определения коэффициентов чувствительности, исходя из уравнений системы (6), путем их дифференцирования по коэффициентам :

;

;

;

В результате получим систему шести уравнений:

(8)

Таким образом, одновременно с решением основной системы уравнений (6) решаются дифференциальные уравнения и для коэффициентов чувствительности.

1.3.3 Определение поправок

Решение системы уравнений (8) при приближенных значениях коэффициентов

позволяет получить значения переходной функции для звена 2-го порядка.

По МНО линейное приближение для функции

имеет вид:

где

– неизвестные поправки к коэффициентам .