по математике. На тему: «основные методы решения систем уравнений с двумя переменными» (стр. 2 из 3)
1) не умение, подставить уже полученную переменную (забывают или не видят).
Рассмотрим способ № 3: Если при решении систем уравнений учащийся не может ни заменить переменную, ни алгебраически сложить, то можно прибегнуть к этому способу. Разберём на примере.
Решим систему уравнений:
Домножим верхнее уравнение на 3. Получим:
Очевидно, что и в первом и во втором уравнениях есть 3y, только с разными знаками. Дальше решаем так же, как и прошлой системе (см. 3 разбор).
В конце получаем, что пара чисел (4,2; -4,8) является решением данной нам системы.
Во время решения систем нелинейных уравнений данным способом вызывает у учащихся трудности только по ряду причине:
1) не видят, что и насколько надо домножить;
2) не умение, подставить уже полученную переменную (забывают или не видят).
Рассмотрим способ подстановки: Этот метод или способ решения систем уравнений используется чаще всех. Грубо говоря, этот способ мы разобрали во всех остальных, т.к. заменяя одну систему на равносильную ей, мы находим одну переменную, а затем подставляем её значение в одно из уравнений данной нам системы. А, следовательно, возникающие проблемы при решении систем уравнений этим способом такие же, как и у всех остальных методов:
1) не умения, выражать одну переменную через другую;
2) не умение, подставить уже полученную переменную;
Итак, из всего выше сказанного можно сделать вывод:
во время решения систем нелинейных уравнений у учащихся возникают проблемы по ряду двум причинам:
1) не умения, выражать одну переменную через другую;
2) не умение, подставить уже полученную переменную;
3) не видят, что и насколько надо домножить.
ГЛАВА II: МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ[4].
В этой части реферата я рассмотрю два основных метода решения систем нелинейных уравнений:
1) Однородные системы уравнений;
2) Симметричные системы уравнений.
1) Однородные системы уравнений:
Уравнения называются однородными, если все слагаемые, содержащие неизвестные, имеют одну и ту же степень (показатели степеней разных неизвестных в слагаемых складываются).
Почему же мы выделяем такие системы? Оказывается, существует стандартная подстановка x = t×y (y ≠ 0), которая позволяет решить систему.
Пример:
Пусть x = t×y (y ≠ 0), тогда
Зная t, легко сразу найти
, учитывая, что . Используя это, найдём y, а затем и x.a) t =3
b) t =
При y = 0 решения нет.
Ответ: {(3√3; √3); (-3√3; √3); (4; 5); (-4; -5)}.
2) Системы симметричных уравнений:
Выражение с двумя неизвестными называется симметричным, если при замене одного неизвестного на другое и наоборот выражение не изменяется.
Любое симметричное выражение с двумя неизвестными может быть представлено, как алгебраическая комбинация, через два простейших симметричных выражения: a + b = t и a×b = z.
Пример:
Пусть
, тогда система имеет вид: 
.Вычтем из первого уравнения второе уравнение:
a)
По теореме, обратной теореме Виета, данная система порождает квадратное уравнение
+ 4m + 3 = 0, корнями которого являются x и y. В силу симметричности имеем: (1; 3); (3; 1).b)
Из порождённого квадратного уравнения
- 4n + 3 = 0 следует решения (-3; -1); (-1; -3).Ответ: {(1; 3); (3; 1); (-3; -1); (-1; -3)}.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ.
Итак, в своём реферате я, во-первых, обобщил основные методы решения систем линейных уравнений с двумя переменными, во-вторых, рассмотрел некоторые методы решения систем нелинейных уравнений с двумя переменными, в-третьих, составил решебник, который, я надеюсь, поможет читающим мой реферат лучше понять тему, которую я выбрал, и сформирует навык решения систем уравнений. Другими словами я решил все задачи, которые стояли передо мной, и справился с моей целью. Надеюсь, мой реферат был интересен для чтения, повторения прошлого и знакомства с частью нового материала. Я постараюсь продолжить работу над этой темой в 10 классе в качестве дипломной работы.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ.
1. А.Х.Шахмейстер: «Системы уравнений математика»
2. Ю.Н.Макарычев, Н.Г.Миндюк, К.И.Нешков "АЛГЕБРА. Учебник для 9 класса с углублённым изучением математики" Москва 2006 год, 5-е издание - М.:Мнемозина, 439 страниц, иллюстрации.
3. М.Л.Галицкий, А.М.Гольдман, Л.И.Звавич "Сборник задач по алгебре 8-9 классы" Москва "Просвещение" 1994 год, 271 страница.
4. Системы уравнений. Поиск имён для исторической справки. http://ru.wikipedia.org
I. ИСОРИЧЕСКАЯ СПРАВКА[5]:
В XVII - XVIII в.в. приемы исключения разрабатывали:
Пьер де Ферма(17 августа 1601 - 12 января 1665, прожил 63 года) - французский математик, один из создателей аналитической геометрии, математического анализа, теории вероятностей и теории чисел. По профессии юрист, с 1631 года — советник парламента в Тулузе;
Исаак Ньютон(25 декабря 1642 (4 января 1643) - 20 марта 1727 (31 марта 1727), прожил 84 года) - английский физик, математик и астроном, один из создателей классической физики;
Готфрид Вильгельм фон Лейбниц(1 июля 1646 - 14 ноября 1716, прожил 70 лет) - немецкий философ, математик, юрист, дипломат;
Леонард Эйлер(4 (15) апреля 1707 - 7 (18) сентября 1783, прожил 76 лет) - швейцарский, немецкий и российский математик, внёсший значительный вклад в развитие математики, а также механики, физики, астрономии и ряда прикладных наук;
Этьенн Безу(31 марта 1730 - 27 сентября 1783, прожил 53 года) - французский математик, член Парижской академии наук (1758);
Жозеф Луи Лагранж(25 января 1736 - 10 апреля 1813, прожил 77 лет) - французский математик, астроном и механик итальянского происхождения. Наряду с Эйлером — лучший математик XVIII века.
II. РЕШЕБНИК.
В этой части приложения написан решебник на мою тему с целью помочь читающим попрактиковаться в решении систем уравнений с двумя переменными. Для каждого метода будет представлено по примеру и решение одного из них, в качестве примера как их решать тем или иным методом.
1) Метод замены переменной и алгебраического сложения и вычитания:
Для начала метод алгебраического сложения.
Пример №1:
Решение:
Можно заметить, что в двух уравнениях присутствует одна и та же переменная: 3y, только с разными знаками. Следовательно, их можно алгебраически сложить и мы получим равносильную систему:
