работа исследование динамики упругого пространства, содержащего систему плоских включений работу (стр. 3 из 5)
Для установившихся колебаний 
(x1, x2, x3 , t) = (u1, u2, u3)е-iωt, уравнение Ляме (1.1) относительно комплексной амплитуды u примет вид:
. (2.2)Для массива включений, на берегах неоднородностей заданы перемещения:
(2.3)При этом напряжения среды в области включений терпят разрыв:
(2.4) 
В покомпонентной записи уравнение (1.1) имеет вид
(2.5)Для упругого пространства, содержащего плоские неоднородности, в качестве граничных условий берутся перемещения берегов включений:
, l = 1 ,…, N (2.6)и условия убывания на бесконечности
, (2.7)дополненные условиями излучения.
В качестве условий излучения выбраны следующие принципы.
1. Принцип Зоммерфельда: в решении удерживаются составляющие, описывающие волны, уходящие от источника в бесконечность, и отбрасываются те, скорость которых направлена к источнику.
2. Принцип предельного поглощения: в качестве решения задачи для идеально упругой среды берется равномерный по всем параметрам предел решения соответствующей задачи для вязкоупругой среды (среды с поглощением) при стремлении вязкости к нулю.
3. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ПРОСТРАНСТВА
3.1.СЛУЧАЙ ОДНОГО ВКЛЮЧЕНИЯ
Разделим пространство по плоскому включению на два полупространства. Для каждого из них справедливо соотношение (1.32). Введем обозначения:
Тв, Uв – напряжение и перемещение сверху включения,
Тн , Uн – напряжение и перемещение снизу включения.
Тогда задача для одного включения сведется к системе функциональных соотношений:
(3.1)в предположении, что
Uв = Uн =U (3.2)
Учитывая соотношения из раздела 2 , L+ , L– , D+ , D– принимают вид:
(3.3) 
Выяснив явный вид матриц в соотношениях (3.1), получим напряжение на границе плоскости:
Tв=(D+)-1L+Uв (3.4)
Tн=(D–)-1L–Uн
Учитывая, что для данного случая с одним включением имеем следующие представления корневых множеств:
(3.5)а так же c1=
, c2= 
. 
Введем обозначение 
(3.6)Решим уравнение (3.4). Найдем матрицы, обратные к D+ и D– .Для этого:
а) Вычисляем определители матриц
(3.7)где
(3.8)б) Транспонируем матрицы D+ и D–.
(3.9) 
в) В соответствии с теорией матриц [2], определяем дополнительные миноры транспонированных матриц и выписываем обратные матрицы:
(3.10) 
(3.11)Умножив полученные обратные матрицы (3.10), (3.11) на исходные матрицы L+ и L– соответственно, найдем
(3.12)где
,
,
,
,
,
,
,
,
,и
, (3.13)где
,
,
,
,
,
,
,
.Итак, если на границе включения задается вектор перемещений U, то скачок вектора напряжений на границе имеет следующий вид:
T+– T– =im-1k-1MU, (3.14)
где матрица M – разность произведений матриц (D+)-1L+ и (D–)-1L–, выглядит следующим образом:
(3.15)Для получения вектора перемещений из (3.14)
,при заданном скачке напряжений Т=Т+– Т– необходимо найти обратную матрицу к матрице М.
Введем обозначение:
Определитель матрицы М равен:
,где
(3.16) 
(3.17)Обратная к М матрица равна:
(3.18)3.2. СЛУЧАЙ ДВУХ ВКЛЮЧЕНИЙ.
 |
Пусть упругое изотропное пространство ослаблено двумя плоскостями, расположенными на высотах h1 и h2,моделирующими включения бесконечно малой толщины. Сохраняя все остальные предположения и обозначения из пункта 3.1, решение данного частного случая проведем аналогичным образом.
Матричный вид системы, удовлетворяющей граничным условиям в краевой задаче об установившихся колебаниях упругого пространства, будет следующим:
(3.21)
в предположении что
. Матрицы 
имеют вид: 
(3.22) 
,где m=1,2.
Таким образом, если на границах включений задаются вектора напряжений
, то для получения перемещений на границе систему (3.21) необходимо разрешить относительно компонент U1 и U2 .Введем обозначения:
(3.23)