работа исследование динамики упругого пространства, содержащего систему плоских включений работу (стр. 2 из 5)

Теперь подействуем слева на соотношение (1.13) матрицей (1.16), после вычисления найдем

(1.18)

p=1,2,3

Для вывода интегральных уравнений, связывающих на границе перемещения u_m и напряжения T_kнужно изучить аналитические свойства функции

.

Учитывая геометрию тела, заключаем, что она должна быть аналитически продолжаемой по параметру a₃ в верхнюю полуплоскость. Это вытекает из свойства области, описываемой неравенством

Для выяснения условия, обеспечивающего аналитическую продолжимость решения, изучим распределение особенностей в представлении функции U_p. Все особенности этих функций описываются уравнением

(1.19)

Находим корни этого уравнения

(1.20)

Но

. Таким образом, особенности функций описываются корневыми множествами функций трех комплексных переменных вида

(1.21)

Эти корневые множества представляются аналитическими подмногообразиями в C³ комплексной размерности, равной двум. Разрешая уравнение относительно a₃ , получаем представление корневых множеств вида

Здесь у радикала выбраны такие ветви, что

при (1.22)

В этом случае при

имеем

(1.23)

Поскольку область содержит положительную полуось, то функции U_p не должны иметь особенностей по параметру a₃ в верхней полуплоскости, т.е. должны быть аналитически продолжимыми в область

. Следовательно, правая часть в выражении (1.18) должна быть ограниченной при и .

Для построения вытекающих из этого условия соотношений положим в (1.18):

(1.24)

Тогда для ограниченности U_p достаточно потребовать обращения в нуль при

и выражений (1.18), в которых вместо взято .

Выполнив эти подстановки, приходим к выражениям вида:

(1.25)

(1.26)

Здесь l_k –функция параметров.

Соотношения (1.25) , (1.26) являются своеобразной формой записи интегральных уравнений, связывающих заданные на границе S тела напряжения T_k и перемещения u_m .

Так, если рассматривается краевая задача теории упругости I рода, т.е. при заданных на границе S напряжениях, то правые части соотношений (1.25) , (1.26) - известные выражения. И из уравнений необходимо найти перемещения u_m , стоящие в левых частях.

Если же рассматривается краевая задача теории упругости II рода, т.е. при заданных на границе S. перемещениях, то, наоборот, левые части соотношений (1.25) , (1.26) известны, а определению подлежат стоящие в правых частях функции Т_k .

В случае смешанной задачи теории упругости, когда на одном множестве S¹ поверхности S заданы напряжения Т_k , а на другом S² -перемещения и_m , соотношения (1.25), (1.26) представляют собой систему интегральных уравнений, неизвестные которых расположены и в левой, и в правой частях в зависимости от того, по какому множеству осуществляется интегрирование. Важно, что на одном и том же множестве не могут быть одновременно либо только неизвестные и справа и слева, либо только известные функции.

Допустим, что удалось решить интегральные уравнения (1.25), (1.26) для перечисленных выше краевых задач теории упругости. Тогда известными функциями на всей поверхности S оказываются как перемещения и_m, так и напряжения T_k.. Внесем их в (1.18).

Геометрия задачи (полупространство) позволяет применить преобразование Фурье. Вообще преобразования Фурье при решении краевых задач теории упругости наиболее эффективно в тех случаях, когда упругое тело занимает объем, содержащий бесконечно удаленные точки, и все границы тела параллельны тем координатным осям, по которым берется преобразование. Свойства тела вдоль этих направлений также должны быть постоянными, но могут меняться в перпендикулярных направлениях. Преобразование Фурье не применимо по тем координатам, вдоль которых свойства среды непрерывно меняются.

В результате выражение для u_p(x₁,x₂,x₃) после применения формул обращения Фурье можно представить в виде:

(1.27)

Интеграл по параметру a₃. вычисляется по теории вычетов.

Из соотношения (1.11) , (1.12) видно, что решение содержит волны

уходящие от поверхности S на бесконечность.

1.2. ПОЛУПРОСТРАНСТВО С ПЛОСКОЙ ГРАНИЦЕЙ

Рассмотрим частный случай исследуемой задачи, когда поверхность

вырождается в плоскость, совпадающую с координатной плоскостью x₃=0. В этом случае внешняя нормаль к поверхности остается неизменной в любой точке и имеет компоненты

(1.28)

Кроме того, надо принять x₃=0 на S, а также равенства

(1.29)

Внесем значения указанных параметров в интегральные уравнения (1.11), (1.12). Тогда в подынтегральных выражениях члены

оказываются постоянными, не зависящими от параметров

и их можно вынести за знак интегралов. Введем следующие обозначения:

(1.30)

Интегральные уравнения (1.11), (1.12) можно переписать в виде

(1.31)

Эти соотношения полностью совпадают с уравнениями, получающимися при удовлетворении граничных условий в краевой задаче об установившихся колебаниях упругого полупространства. Если на границе задается вектор напряжений Т_о, то для получения перемещений на границе левые части соотношения (1.31) необходимо разрешить относительно компонент вектора U⁰ .

В матричном виде систему (1.31) можно представить в форме

(1.32)

2. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ ДЛЯ ПРОСТРАНСТВА
С ВНУТРЕННИМИ ПЛОСКИМИ ВКЛЮЧЕНИЯМИ

Упругая изотропная среда содержит систему произвольного количества – N плоских включений, расположенных параллельно на высотах h₁,…,h_N соответственно (h₁ <…< h_N). Включения занимают области Ω_l с границами S_l, внешние нормали к границам

, l=1,…,N.

Колебания упругой среды описываются уравнениями Ляме (1.1). Вектор перемещения точек среды в данном случае

(x₁, x₂, x₃, t).

Дополнительные условия, налагаемые на рассматриваемые характеристики на границах заданных областей, приводят к краевым задачам. Упругая среда может быть пространством, полупространством или слоем. При этом на верхней границе могут быть заданы компоненты вектора перемещений

или вектора напряжений

.