цель этой работы, рассмотреть незаслуженно забытую проблему, которая не была решена. Явно недостаточное количество литературы по этому вопросу не позволяет многим людям попытаться внести свой вклад в (стр. 4 из 5)

8.) Пусть y>2. Возможны случаи: 3⁴ⁿ⁺²+2⁴^m⁺¹=11^z ; 3⁴ⁿ⁺¹+2⁴^m⁺³=11^z.

3⁴ⁿ⁺²+2⁴^m⁺¹=11^z , x>1, тогда 11^z-3⁴ⁿ⁺²=2⁴^m⁺¹ делится на 4, т.е. 11^z и 3^y дают одинаковые остатки при делении на 4. 11^z при делении на 4 дает остатки: 3; 1. 3²⁽²ⁿ⁺¹⁾ при делении на 4 дает остаток 1. Тогда z=2k. Получили 11²^k-3⁴ⁿ⁺²=2^x Û ì11^k-3²ⁿ⁺¹=2^a

î11^k+3²ⁿ⁺¹=2^b, где b>a, a+b=x, тогда 11^z=2^a^-1(2^b^-^a+1), что возможно только при a=1, тогда

10d+1=2^b^-1+1, 2^b^-1=10d, откуда 2^b^-1:5, что невозможно.

3⁴ⁿ⁺¹+2⁴^m⁺³=11^z. y>1, тогда 3⁴ⁿ⁺¹=11^z -2⁴^m⁺³ делится на 9, т.е.

11^z и 2⁴^m⁺³ дают одинаковые остатки.

11^z при делении на 9 дает остатки: 2; 4; 8; 7; 5; 1.

2^x при делении на 9 дает остатки: 2; 4; 8; 7; 5; 1. (из п.6.2) x¹2m, тогда возможно 3 варианта.

1*)

z=6k+1, x=6m+1 ,откуда 11(11⁶^k-1)+11-2(2⁶^m-1)-2=3^y.

7a+7b+9=3^yÛ 7d+2=3^y, тогда 3^y при делении на 7 дает остаток 2.

3^y при делении на 7 дает остатки: 3; 2; 6; 4; 5; 1. Откуда y=6k+2, что противоречит условию(y=4n+1)

2*)

z=6k+3, x=6n+3, откуда 11³(11^6k-1)+11³-2³(2⁶ⁿ-1)-2³=3^y7a+7b+7×189=3^y

7d=3^y, тогда 3^y:7 , что невозможно.

3*)

z=6k+5, x=6n+5 откуда

11⁵(11^6k-1)+11⁵-2⁵(2⁶ⁿ-1)-2⁵=3^y

7a+5=3^y, тогда 3^y при делении на 7 дает остаток 5.

3^y при делении на 7 дает остатки: 3; 2; 6; 4; 5; 1. Откуда y=6k+5.

Получаем 11⁶^k⁺⁵-2⁶^m⁺⁵=3⁶ⁿ⁺⁵. Заметим, что 3⁶-1 делится на 13, тогда 3⁶ⁿ-1 делится на 13 (См. Приложение.)

3⁶ⁿ⁺⁵=3⁵(3⁶ⁿ-1)+ 3⁵=13d+9.

Остатки от деления 11^z на 13: 11;4;5;3;7;12;2;9;8;10;6;1.

Остатки от деления 2^x на 13: 2;4;8;3;6;12;11;9;5;10;7;1.

Получаем 11⁶^k⁺⁵º7 (mod 13) и 11⁶^k⁺⁵º6 (mod 13), а

2^6k+5º6 (mod 13) и 2^6k+5º7 (mod 13).

Тогда возможны варианты : 11⁶^k⁺⁵=13a+7 или 11⁶^k⁺⁵=13a+6, а

2⁶^k⁺⁵=13b+6 или 2⁶^k⁺⁵=13b+7.

11^6k+5-2^6m+5=(13a+7)-(13b+6)=13(a-b)+1,

11^6k+5-2^6m+5=(13a+7)-(13b+7)=13(a-b),

11^6k+5-2^6m+5=(13a+6)-(13b+6)=13(a-b),

11⁶^k⁺⁵-2⁶^m⁺⁵=(13a+6)-(13b+7)=13(a-b)-1=13c+12,

что противоречит равенству 3⁶ⁿ⁺⁵=13d+9.

Ответ: (1;2;1);(3;1;1).

7. Решение уравнения 2^x+3^y=13^z

1.) Рассмотрим остатки при делении на 13 2^x и 3^y

Остатки 2^x при делении на 13: 2;4;8;3;6;12;11;9;1.

Остатки 3^у при делении на 13: 3,9,1. Откуда x=2m.

2.) Пусть x=2, тогда имеем уравнение 4+3^y=11^z.

13^z-3^y=4.

Рассмотрим остатки от деления 13^z и 3^y на 4:

13^zна 4:1.

3^y на 4: 3;1. Получили, что y=2n. Тогда 13^z-4=3²ⁿ,

13^z-4=9ⁿ, при n=1 решение(2;2;1 решение 2^x+3^y=13^z),

пусть n>1, тогда (13^z-4):27.

Рассмотрим остатки от деления 13^z на 27:

13^z на 27: 13; 7; 10 22; 16; 19; 4; 25; 1. Откуда z=9k+7.

Заметим, что (13⁹-1):10 Þ (13⁹^k-1):10.

13⁹^k⁺⁷-4=9ⁿ Û 13⁷(13⁹^k-1)+13⁷-4=9ⁿ учитывая что (13⁹^k-1):10,

получаем 10a+7-4=9ⁿ Û 9ⁿ-3=10a Þ (9ⁿ-3):10, что невозможно

9ⁿ на 10: 9;1. Æ.

3.) Пусть x>2,тогда (13^z-3^y):8.

Рассмотрим остатки от деления 13^z и3^y на 8.

3^y на 8: 3; 1,

13^y на 8: 5; 1. Откуда у=2n, z=2k, имеем 13²^k-3²ⁿ=2^x Û

ì13^k-3ⁿ=2^b,получаем 2×13^k=2^a+2^bÛ13^k=2^a-1(2^b-a+1),

î13^k+3ⁿ=2^a

13^k=2^a^-1(2^b^-a+1) может иметь решения только при a=1, тогда уравнение принимает вид 13^k=2^b^-1+1.

Рассмотрим остатки от деления 2^x на 13: 2;4;8;3;6;12;11;9;5;10;7;1.

Тогда b-1=12c+6=6d, получили 2⁶^d-1+2=13^k Þ 7e+2=13^k, что невозможно 13^k при делении на 7 дает остатки 6,1. Решений при x>2 нет.

Ответ: (2;2;1)

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Общая схема решения диофантовых уравнений вида b^x+(b+1)^y = a^z,

где aÎN, bÎN, на основе этой работы выглядит так:

1. Оценить остатки при делении выражения на a,b или (b+1).

Возможны результаты:

А) Противоречия, корней нет. Ответ: Æ

Б) Возможны корни, при некоторых

ограничениях.(Переходим к п.2)

2. Выбираем одну из переменных (обозначим ее с) и анализируем наличие корней при с=1, с=2, ...с=q, с>q, учитывая полученные ранее ограничения.

Возможны результаты:

А) Получены противоречия, корней нет. Ответ.

Б) Отсев некоторых показателей, нахождение некоторых корней, доказательство, что при c>q корней нет. Ответ.

В) Новые ограничения. Нет доказательства отсутствия корней при c>q.(Переходим к п.3.)

3. Выбираем другую переменную и переходим к п.2.

А) Доказательство найдено. Ответ.